Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

i. a. 25 -25.

THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Ou autrement: que l'ilntgrale soit' Jf() dx, et qu'en mmee temps la relation entre ]a variable x et
a
quelque autre y soit donnee implicitement par l'equation F (x,y) = 0. Alors on a:
d. - (x) d. F(dy),d.F(x,y) d.dF(x -.yd
d —'z --- dx (- — dy == d0, d oh dx = -\ — y.dy d
dx, dy dy dx
Pour calculer les limites de y, on a les equations F(a,y)=O et F(b,y)=O; dont la resolution
produit respectivement y= c( (a) et y- ((b). Enfin, lorsque la resolution de!'equation implicite
donlne x- 1, (y), on aura:
]'f(x) dx -.(b) d(,y) d.F (,y) (y)} dy.. (44)
a?(a)
24. On peut encore deduire immediatement ces resultats de la formule de definition (5).
Faisons y x= q(y), et supposons que f(x) devienne X (Y), et que la suite des valeurs de z:0o,,, x2... Xn corresponde a la suite des y: y, Y,, y... yn, nous obtiendrons:
f f(x)dx = Lim.[ (q(y ) — (Yo)} X (Y o+) {'(Y o ) -q (Y )} X(Y )+.' '+ {p(yn)-c(yn-i)} X(y, —t)]
Mais comme
P (y(P) -- (.p-l ) I d.,(yp)
Lim. -- - =- d' (yp),
yp -- yp dytp
on aura aussi:
f/(x) dx -.Li. [(y,-Yo)(F'(Yo)X(yo)+(y z-y )p'(y,)X(y, )+...+(y- (y -)z-1)].
xO
Or, chaque terine consistant de deux facteurs, dont Pun est (ypt -1-l /), et l'autre ' '(yp) X (Yp)4
c'est-a-dire, la valeur de p' (y) X (y) pour y lY/, le second membre peut de nouveau etre exprime6
par une integrale definie, et l'on obtient:
fXn f(x)dxl- cp'(y))x(y)dy..... (45)
ce qui revient aux formules precedentes.
25. Dans le cours de nos raisonnements on a pu remarquer deja, qu'il peut se presenter uue
difficulte dans ces operations, quand il s'agit de la resolution de l'equation entre les anciennes
et les nouvelles inconnues, tant pour avoir l'expression a substituer pour dx, que pour calculer les
nouvelles limiites. Car lorsque cette equation comporte plusieurs racines, celles-ci donneront lieu 't
plusieurs valeurs pour les fonctions cherchees. Mais on sail par la theorie des equations, qu'entre
une telle paire de racines qui se suivent, il y a toujours un maximum ou un minimum de la fonction, et c'est ce qu'il faut observer lorsqu'on substitue les diverses valeurs de la nouvelle variable.
Supposons par exemple que la resolution de l'equation y =cp () ait donne plusieurs racines
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