Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET TiITHODES D'EVALUATION DES 1NTEGRALES DEFIN1ES. II1. M de10. N. 1, 2.

~ 5.,lETEiN-OD1lL 10. IREDUCTION A lUNE AUTRE INTECRALE D)EFINIE, AU MtOYEN
DE LA DII'FERENTIATION PAR RAPPORT A UNE CONSTANTE.
1. Dans la Premiere Partie, N'. 28 ' 30, on a trouve de quelle maniare il faut agir pour
diffierentier une integrale definie par rapport?' quelque constante qu'elle peut contenir, et quelle
est la condition n6cessaire pour l'exactitude de ces calculs. On peut maintenant en faire l'applieation suivante pour '6evaluation de quelque integrale definie I = | (c,x) dx. Dans la suppoa
sition que a et b ne d(lpendoent aucunemeont de la constante c, et que la condition mentionnee
soit remplie, difirrentions par rapport. cette constante, alors -- - dx, suivant les
d i de
a
d I
regles citees. Lorsque la derniere integrale est connlue, p (c), on cn deduit - -f(c) et par
eonsequenlt I j f(c) d + C. De telle sorte lrintegrale i est ramenee h une autre integrale
(C
' f(c)dc, en general fort diff'rente: pour le succes de cette mrthode, il faut que cette integrale
indefinie soit connue afin qu'on puisse l'evaluer entre des limites convenables: mais en outre il
faut determiner la constante C. A cet elfft, il faut chercher quelque valeur speciale de c, pour
laquelle lintegrale I recoit une valeur, connue a priori: alors pour cette valeur de c on aura
une equation entre I, f (c) dc et la constanto C, qui pourra servir a determilner la derniere.
Des-lors on a trouve la valeur de l'integrale I, coinme onl se le proposait.
7 AArctg. {q (1 p2Si2 xS)}
R ot2.8 7 ct. S ip 2 1( - -}- dx,(p <I 1 ); et diflerentions par rapport. la.? /(J- -p- P' Sill.2 x.)
0
constante q, cc qui est poermis ici, puisque la fonction a int(dgrer reste continue pour chaque. d [. d.ct;
valeur de q: il vionCt - ----, --- d apre s
~ x l+ -p qS^ -t-(1)l+Q-aPar)
o
Metli. 7, N-T". 20: do = -----
j J +V - -q-)( + - -P q-)
On a commence l'integration ' a valeur 0 de q, parce que pour cette valeur 1 syevanouit,
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