Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. MAd. 9. N~, 20-22. TIlEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

00 ePx - e-P 1 ~ (ePx - e-P) (eqxi_ — e-qxi)
eI P + -2-Cos.2 --- Sin.qxdx - j 2PX e-2px + |2qx e —2xi dx.
fo e2px j, 2 Cos. 2 q(x -+- e-2p 2i J ex + e-px e2xi -e-2xi
1 Ji ~ J __ 1 _11.- 1 f -1. qr n
G i '1e~pqi~x~e~ip-i- - - 1 d if ]2
~2i J e(P-xi) +e —(P-qi) e'P-+ i) -e-(p — -2i IPi)-qi 4 p + qi 4) 4 p2 -+ q2
(T. 284, N~. 7, 6), en raison des identicites:
e2px +. e-2px j+ e i + e-2oqxi { ~eIqxi P- - 0e(P rUi)x -p - )} {e(P9i + e-(P-i)},
(ePxz ~ e-Px) (eqxi t- e-qxi) {e(P+qi)x + e-(P+qx} -i {fe(P —qi)x - e-(P-i)X.
21. Mais ii peut se presenter ici un cas, qui merite d'etre dtudid plus en detail. II a ete
remarque par LJEJEUNE-DIIRICHLET [114], que dans 1'integrale (a) du N'. 1 ii n'est pas permis
d'introduire une substitution differente pour chaque temne, lorsque ces termes sont tous deux
infinis. Or, il se peut tres-bien que les int6grales dans le second membre soient infinies, et que,
pourvu qu'elles soient liees par le signe -, leur difference _ - cc, c'est-'-dire l'integrale au premier
membre, ait une valeur determinee. Pour demontrer la verite de ]a remarque mentionnee, supposons
que chacune des deux integrales en question contienne quelque constante p, et que leurs valeurs
soient respectivement representees par a -+ (p et b + p (p), oi a et b sont des valeurs constantes: la valeur de l'integrale a gauche sera a -b. Tant que cp (p) sera finie, la substitution
d'une autre variable quelconque, au lieu de x, ne pourra changer le resultat qui restera toujours
le inme', de sorte quce q (p), a, b lne changeront pas. Mais lorsque cp (p) est infinie, cette conclusion
lie -vaut plus. Alors posons la condition que les cp (p) soient identiques avant aucune substitution;
et cette condition est necessaire, puisque autrement leur difference serait tout. —fait indeterminee,
et par consequent aussi l'integrale dans le premier membre. Lorsque a present dans les deux integrales on fait la mlme substitution, les deux qp (p) auront la mmeo origine et se detruisent
coinmne auparavant: mais quand on y effectue des substitutions diverses, l'origine des deux cp(p)
ne peut plus 6tre consideree la mene, et par suite la difference rp (p) - cp (p) est devenue indetermine. Prenons comme exemple cp (p) =, qui devient infinie pour p == 1; lorsque tL present. -~- p/
par quelque substitution l'autre cp (p) serait devenue p 2 egalement infinie pour p... 1, leur
1 1 p
diff'rence - -- - - ne serait plus nulle, mais bien infinie pour cette valeur
i.-p 1-p2 1-p2
1 de p; done cette substitution n'est pas permise. On verra dans la suite, quelle influence un
traitement illegitime aurait eu sur les integrales a etudier.
22. Lorsque la fonction a integrer devient infinie pour une des limites de l'integration, on
peut y substituer une autre limite, qui en difflre de b, pour faire converger S vers zero apres toutes les transformations necessaires; de cette maniere on se soustrait a la difficulte du
[114] LEJEUNE-DIRICcILET, Journal von Crelle, Bd. 15, S. 258.
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