Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. l. 9. 9. 19, 20.

f^ Cos. pr. Cos. {I. C Rxa 1 - - - a
O -— os.- p- Gos. ^ 2 _ Si.{qn -r)} + Sin. {q(p+r)} S in Sp. Cos. r, (p > r),
] -- v 2 2q 212
- s in. } + Sin. tq(p -r)} -- Cos.pq.Sin.qr, (p< r. S l.2pq(p=r),. (498)
)0 Si'. px.Stin.>xdx 7n 'T. n
J --- S 2.p-x.:=-d -— Cos.pq.Sin.qr,fp>r \ --- Spq.Cos.q(r, 2pq,pr.- (4 99)
~,........ v L,.....Sbn.pq. Cos.qr,(p<r'), g q,(p-r:,
2,i 2 2q 2q 4q
r x Cos. pjr. Sin. r.x 1 -n 1 -I -. 7
a-: -Co-,,..% -- Cos {+(p+-r — r) -Cos.{(p-r\)q} -Sin.pq.Sin qr, (p > r), =
' - Cos. ( (p r)q - - cos (p-')q} -- Cos. pq. Cos. l, (p <), - - Cos. 2p, (p=r) (500)
2 g '9 9 2 42
20. Quelquefois on peut efectuer unc division de la fonction a l'aide d'expressions imagir2r e 2T qxi_.e-gqxi 1
naires. Ainsi V'on trouvo: ePxi Sin. qx d e -— dx ---- d de( '},
2] ~ 7i ] 2~~i 2i
f ePxIC s.qxd=. x q d - ( -i - -(Pi)x-tI '- e q))i Suivanit liinrt('rale (68) les int(grales partielles
o 0
sont toutes deux nulles: seulelment dans Ie cas doe p = —, l'iltegrale h la fonction e(p-q1'x sera
chang('c dans celle-ci: I d.c 7r; done on trouve:
0.f2 7r
]i eP clSi. qx d. 0, (p cq), /,* (501)
ePxi Cos.qx dx 0, (p t q),- 2 -, (p = ).... (502)
0
On serait parvenu au meme but par le chllemin contraire, en posant ePxi = — Cos.ppx 4 iSin.,x.
Par l'introduction des expressions imaginaires de Cos. qx et de Sin. qx on trouve encore:
fr epCx 4- e-PX I f (epx + e-PX) (eqxi — e-qxi)
^ " — - C --- —---— Cos. qxd == - x ----------. dx ==
2px -+- 2 Cos. 2 9x + e-2px e2j px 4. e —2Apx + e2qxi + 6-2qx7i
0
Pae 335. 43
WIS- 'EN NATUnUIK. VERH. DERl KONINKL. AKA)DEM[AIE. DEEL VIII.