Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 11I. Me 9. N. 16, 17.

ZO /7~ 7dx 1 f ~q dx If dx 1 00 dx
Encore: ]Sin.px. Cos. qx = 3- Sin. { (p+ q) - - Sin. {(p —) x} - - - S (p+)
I x: - )Xin.{(p + q)xd
00 0 0
- -. Sin. {(q —p) x} -. Cette integrale a Ctd trouveoe Methl. 6, N". 5, Sin. rx:mais alors on
x x,
'0 0
a suppos6 r positif; dans la seconde des integrales partielles precedentes, il faut done prendre la formule a
Sin. {(p-q)x} on celle a Sin, (q-p)x}, suivant que p est plus grand ou plus petit que q, afin
que le coefficient de x sous le signe Sinus reste constamment positif. Dans le cas de p — q la
seconde des int6grales partielles s'6vanouit. On trouve done: Sin. px. Cos qx,(p > q),
0 ~x'g, (p q), - (p 0,y), (T. 195, N'. 5, 6S, 7), oit lo dernier cas est proprement identique
4
avec l'integrale employee de la Meith. 6.
17. La menme remarque vaut quantl aux integrales suivantes. D'hpres Me6th. 5, N'". 8, ou trouve:
Co~ l'yf., w
"xSimn px.Cos.xdxL 1 xSin.(p+r)^x} 1 xSin.{(p-r)Tx} T
I~ " ~-e-'- w- dx - ' = —.!e --- + - )v4 e —(.-?.})q=
/ g2+ +x 2 2 +I2 q +4 -~1
o 0 ~0
- e —PY (eq' -(- e-'), (p > r), = e( -- ePr --- - - -.(- -e-. (e-P( eP~q), (p < r),
O 1 '
G -"(+) - — e-2pq, (p r), (T. 209, N'. 2, 3), oi pour la seconde valeur on a substitue
4 4
-Sin. {(r-'p)x} au lieu de Sin. {(p —r) } dans la seconde integrale partielle; tandis que pour la
troisieme valeur (ohl p = r) cette integrale s'6vanouissait. D'apres le mnieme IN. do Meth. 5 on a encore:
C~ x 1] Cos(p+r)x 1 Cos. 1 (p —} n ff
1s9 deto ---— x + - r d d - c'u~,') (p- e +qe
J q 2+$q 21 q 2-2x2 2 q2 -x 2 4q 49
o ~~~0 0
~5 fi r 71
-"4-qe-P(er-l-~r)'(p>r'... ---] ~ —p,-l-r/ 4,- e-r-(-l) — eq~?eP-e -li ()(p<vi),(T. 209,N~.4,5),
4q 4 4q 411
=-e —Pg(eT — e-7J),(p>r), * --- — e- (-(P) --- i-e-( 4q 4q 4 e-71(?-ec-Pg),(p<4),(T.209, N.1),
oi l'on voit que Cos. {(p-r).r} a ete remplace par Cos. {(vr-p)} dans le cas oih r etait plus grand
que p. Traitons maintenant du cas de p- r, alors on a Cos. {(p-r) x} Cos. 0 _ 1, et done par
M-th J -^ dx i' Cos.2 px dx Cr (tSin.2 pxdx c
Methl. 1, N. 3............ et j....-...... ) (P1| — e(.2P
q2+. 2 1'-Iq, q2 + 2 4 / 2
J ^2^.. ^ J ^ ^ 4q " '..IV ' 4q
0 0 0
(T. 205,. 3 et 21).
P8~~~~~O~~p r-v at 3t replc pa Co.ePpx asl a o' 'atpu r