Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 2. N. 20, 21. THEORIE, PROPRIETES, FORIMULES DE TRANSFORMATION,
substitutions de nouvelles variables. On peut augmenter ces resultats, en donnant ' a et b des
valeurs speciales; et de telle sorte on obtient les formules pour reduire les limites 0 et co aux
autres 0 et 1, et ainsi de suite. Pour cette derniere reduction pourtant, des limites 0 et cc aux
limites 0 et 1, nous indiquerons une mdthode assez curieuse. En vertu de la formule (8) on a:
p(^ - r/(^+ I fp~a r
ff(x)dx= f ())dx + f(x7f)dc1x
o '0 a
Dans la premiere substituez x-=ay, dx =ady et 0 et 1 pour limites de y; elle devient par
consequent
A (x)d =a f(a)dx a(. r.. (36)
'0 C0
a -acly
Dans la seconde au contraire prenons x= -, dx= — et 1 et 0 pour limites de y; il vient:
y y2
I /) =a f/ X;.......,....o.. (37)
a 0
et par consequent:
f( f)dx=a (a)d ~a Jf /. (a ) +, )+j2/ ( l)}dx; [12]. (3)
Q '0 0 0
oLi a represente une quantite quelconque positive.
21. On peut encore dans l'integrale f f(x) dx diminuer la distance des linites. Car on a d'apres (8)
fi'rxadx= [1qfud~ ff(x)d;
fx) d _: (x) &; -- f (x) dx;
0
1 1
dans la derniere, soit x = a z, done dx = - dz, tanidis qu'aux limites - a et a de x correspondent - a
2</ 2
et 0 de z: par consequent:
f (x)xd= / j) ( -xa)dx f /(x) d + f (a —x)d = f r(x)+f(a- )] d (3 )
0 '0 a 0 0
ou les reductions successives montrent assez clairement de quelles formules nots avons fait usage,
pour nous dispenser de les citer specialement. On a reduit la distance des limites a leur moitie,
et lon pourrait continuer de la sorte: mais il vaut mieux considrer ce probleme sous un point!
de vue un peu plns gdneral. Car d'apres formule (18) on aura, supposant a=nb +c:
[12] LEGENDRE, Exercices de Calcul Integral, Partie 4, Section 2, p. 126.
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