Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IlI. Me. 9. N~. 5-7. TIHORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
COS1. x 44 r (,
4I Cos. - -x dt _. - ] Cos. —:v)d l4- l(/2). dx -- Cos. dx. Dans la premiere
d Cos.1x j 4 d + j
0 0 0
integrale du dernier membre soit - -- y, alors elle devient egale a la derniere int'egrale de
4
ce meme membre mais a signe contraire: ces deux inteSgrales se detruisent par consequent, et il vient:
7r 7r
fl dx f 4 (4
t(1 +,-.) l +-,(T. 1 6 0,N~. 2), ( g.y)dy(T.3 06~. ),-2).
0 0 0
6. De l'int'grale I (T + p) dx. On a trouve (Meth. 3, N~. 7, Note) la formule
0
F (x —p) -- xPil r ( to) -.= (. —+1)... (X —p-I-1) r (p). Prenons les logarithnmes de part et d'autre, et integrous entre les limites 0 et 1: lr(x+p)dx=.Jj [x+l+(-Fl)+..-.+- l(+p-I)+Zr(x)] -
o O
p-f rl 'I
_ lj ( x +-| n) dx + 1r (x)dx. L'integrale sous le signe de sommation est la formule (7 1) (ou T.42,
0 0
-1 p-I
N.9); Palutre a te' ttrouvee fMth. 4,1 TJ5. Done: Il( + p)dx. 1l 1-Fz {(1 + ( +n)l —n i- 1n-i}.
J 0
0
Mais la sommation so laisse reduire de beaucoup, car, en posant;m au lieu de 1 - l dans la
p- 1 p-I p-i
premiere des sommations partielles, on ]a trouve egale ha (1 -- n) l(I -n) — 2 i ln —.. -=
0 0 0
)p p —
'-.mlm. —.L'nl1n-p, puisque la derniere de ces sommations n'est autre que p fois l'unite.
I o 0
p p-1 p-l p-1
Or, 27 m I mn -.n n n + p p et,-t I n- n I n, parce que pour n 0, largument n I n s'annule;
1 1 0 1
p —1 1
done enlfin: z {(1 + n)( + n) -n n —} =pp —p et: t lr + p) dx -2- +pl p-p.
o
(T. 3 7, N '. 4),
7. Aussitot que lon a un d6nominateur a plusieurs facteurs, il faut faire usage des regles
connues pour la reduction en fractions partielles; alors on est ramend6 plusieurs integrales
partielles, qui seront toujours d'une forme plus simple que lintdegrale primitive. Dans la suite le
[1081 On deduira cette integrale d'une autie maniere Me.th. 19, N'. 1.
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