Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1I1. Mde. 8. N. 4-6. THtlORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,

e-kx Cos. dx ( e-kxSin. px dx
4. Encore pour les integrales [ '- x Cx et e -, on obtiendra toujours
ex e -z s. 1p 9 V
1 y f ^ + ex + e-'x k/: X
b o
~e-kCos.pd vI n I/ (p__+k1)+k
la merne valeur. En outre, d'apres Meth. 26. N0. 2 on a: ' ---— A '= x/. p- +- V 2+
/x = 1;2 P 2+'k2
e-k~ Siln.pv dx j l/ (p2 + k2) -
et ] ---- -- - 1,/ 22 j -- Lorsque k d evient ifini, ccs integrales convergent vers / - et i/ -, c'est-h-dirc toutes deux vers zero. Par consequent on a:
[ e —Zx Cos. px dx e- k Sin. pj' dx
I o - -........ o0, 0........ (4.3 ), - o......... (440)! ex 4- e -- x 'I - ' j;x _,/x
o e —k Cos. p dx 0 e-.x S, LKx dx 0
j0 —........ (441 ), I - e ---- 0... 442)
I 0
Dans les deux dernieres on a chang6 le denonlinateur en ex + e —x - 1, o i la valeur def, quoique
differente, ne changera en rien la conclusion. Partout nous avons ici k = c.
I Xk-i xP-/1 p +\ 1 ap+'
5. Soit l'interale --- + -- d - dx, et prenons ( -- + - -
\i~~~~x 1-1x] I \hc~ —i 1x I- '
0o 0
1 0t~H fi 1
Ici on a: a-+(6b-a) 0=0 et (. 0.= -- + - a d'ae part (- i d -. Or, comme le premier
0
facteur reste toujours fini, et que le dernier k est zero, lorsque k devient infini, il fant qu'onl ait:
F (V:/- p+k\
1 -i- + dx12 = o, k -............. (44
0
' elx - e —px e-^-crx ePx e - P^2
6. Pour Vintegrale --- d., soit q (,i) -- factcur qui reste toujours fini pour
ej eqx e-qx s eqx --- e -
o
e-k'x d, r(l -s)
chaque valeur de x plus grande que zro et moindre que Fini. L'autre facteur est --
~f (Or)' i0
d'apre s Metth. 8, N3 2. Done pour s < 1 et k C o elle s'annule et i'on a:
e0 e0 2 e-krx dx.
e\ - - ^ ^ c 0, k _ a s, < 1. *. * * *.. (444)
j e0q e - ex- s
o,,.,,)k(lx)p-ldx 1
Dans Cinfegtile i — $.y j 4-.." le facteur ne devient jamais infini pour
1 + '-2 x' Ios.. + + 2; Cosx. + 4 2
a*e s0318.
];age 38.