Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. M'. 7. N\, 51I. THEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRINSFORMATION,

1 + x dy 2dx I -— y
y-.= - -, -- - - = o -- ~', avec les limites L et P doe y; et dans la seconde integrale x
1 - y l --- - e- 4
y 2 - dy - -2 dx
I-x, 1- ==.r- y, —.- avec 1 et 0 comme limites de y; donc:
1+-,- 1 @ 1 +. y 1+ —x'2, iT-y71 d 0P+f If-qt t,: J [(+. -I) (os. i~(y. — )iSin.Ptp+q. [(1 +y)Cos. (1 —y)iSin. ]P'1 0
Or, comme ~t (t1/-1) -F= (1-*1/) et | ---- += |, les deux fonctions at integrer sont identiquement egales et on peut les comprendre dans ule seule de x-= 0 x =- z, c'est-'-dire:
TrO yq-1 d7 y:r - 1il. =op +q -. i de ede e den iateur eel,
[( + 1 ) Cos. X: (y - ) iSin.,]+ Af de rendre le dnominate r e,
0
multiplions-le par (e-)-k'q == [Cos 2Z ~ iSin. A p+-, il devielt (1 -- y e~2ki)p+q, done:
-. ( e~2)- / (yei)) d. ( e ye
1, (1. -1- ' erk 2)9i)p - (1 +-q e..'),)p-t-q
O O
Maintenlant la dernie're integrale se trouve dans le cas, que nous avons etudic Partie Premiere,
N~. 27, pourvu que equo 2)i reste plus grand que -1, c'cst-h-dire que (2X)2 soit plus petit que 70
ou 12 <- _72; des-lors on peut prendre la valeur interme'diaire zero de X pour simplifier l'int'grale, et l'on a:
'yq — dy F (P)==
I ~5 ii2 = 2P+q - 2~P+i e!AP1-) (), d'apres Meth. 4, No. 6.
1 2 J ~~~~(1-+ Y)Pq r(p+q)
Puisque e:Xi(p —q) = Cos. {(P —q) } - i Sin. (p — q).}, on peut separer les parties reelles et
les parties imaginaires, et l'on obtient:
_ (-. ~.t), (+) + (,) (l +: _. +- r(P)Pq (). Cos. {(p-q),.. (432)
+ (.- X'p (I +x)q (-Y) -- r) + d., r (p) 1 (M)
i(Cos.X:f txiSin.z - 1 -x F (p- - +q)
-_
IDans I, )preniiois p == q- -, q- r ---, on aura encore:
I —l- (U_ W:r;zt.,2_.r(t!.-)r(t'.:)os,... (4314)
f (C6is.:~.ti Sin..)2/' r (2 r)
__ l

P rage 31 (;.