Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METTIODES DEVALUATION DES 1NTEES SRAL DEFIN1ES. 111. Mal. 7. N. 50, 31.

Sin. x (1 q-p Cos.x) a
30. La substitution 9- - + ==Sin.,, (p< l) donne 1-p2Srin.2'y= (l ~- -,-,
I^ +.+pCos. x p - I^^ / 1-,~;dty = ( -t- P dx. Quand x crolt de 0 r, Sin. y doit croltre un meme temps de
1 +- 2pCos.x — p2
( l) h~:( --, parce que le numerateur devient plus grand, le denominateur au contraire plus
petit. Pour la valeur de w, de - a 7, Sin. y retourne continAment z zero: done y croit
2
de 0, r.: la valeur de di, raffermit cette conclusion, puisque l'existence d'un maximum ou
d'un milimum de y entralnerait la condition 1 + p Cos.. x n0, Cos. x -- -, plus grand que
P
7r Sinx.2adx dx f S i 2a i
l'unit', chose iipossible. Par suite: I - - -+ 2p $s —, =2)2 2 (I)
2. SI/./cn.2!
f i/(l + 2pCos. 2)2 —l / ( 1p2. +;)
o 0
equation doe reductioni, qu:i est souvent employee. Pour a -0 et ca 1 elle donllne succeessiv C SiVent:
1J7 dx _. * * d y428)' i, ^ Vr-7_ P2 * * * -(42
o 0
r Sin. c7x 9r Sin 2 y dy(2
(43'0):' 2 - (p) E (p) ( ). (1 + p +9Cos. + p)' JO (1-p Si. sI) P0
7r
rr 2
d'apres iMeth. 3, N., 11, puisque dans l'integration par rapport a y on a evidemment: [ =2 f.
0
31. L'introduction d'une variable imaginaire donne encore lieu. ququelques observations d'apres
la Premliere Partie N0. 27. Dans les integrales
'I1 - \')P(1_+ )q^ -(I -~-)'l +1xP dx etl T — l(l J.~l +. -(1-w'j kl +x- P dx
(Cos. xeiSin.S))P+q 1- ' - 2 - i (os. -l-3 iSin. )P-+ -L
on peut en premier lieu separer la distance des limites -- I et -4- dans deux parties de ---
' 0 et de 0 'a; lorsque maintenant dans la premiere nous prenons -y au lieu de x, les
limites en seront 0 et 1, et la fonction a integrer aura le mneme numerateur que la secoutde integrale
partielle: le denominlateur au contraire est diff6rent a raison des signes contraires, qui lient les deux
termes du bin6me. Des-lors on peut prendre la somme et la difference de I1 et i X T2~ et ecrire:
J - (1-2 d (1 — P( (I +X)P dx
J (Cos. X i~ Sinn. )P+q( 1 — 2J (os.X tiSin. ^)P- 1 -:
O 0
y —1 2 2y
Dans la premiere de ces int6grales posons x =- -, 1 — - -t —. 1 -,
y/ -- +. +
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