Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mil. 7. N~. 28, 2J9. TIEORIE, PROPRIETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,
oiu k - pq - Cos.a. (p - 1) (q2 1). Dans le cas de r -= 1 on trouve:
J p _Cos'.a)'V(p2 -1) 21dx ~= 27rrk_- 2 = r 2{pq-Cos.a./ (p2 — 1)(q - i)).. (425)
{,p^-Cos...a'- q).-/() o '1)
2
29. ])es integrales f Sin. xdxV ( p2 Sin..), |Sin.3.di/' (-p2 Si,.2 x). aisons
0o o
p Cos. x
==p Si Sil.. y, ce qui est permis, puisque pour p < 1, l-p2 Sin. 2 >p2 —p2 Sin. 2 x
-1i. - ~P 2~(Sin'" (
ou p2 Cos.2 x; alors Sin-.2 x COP -= Si2 2 in.. Cos.2 dx
p2 CSi. 2. Cos. x d
p Cos.2 y p' CosC.' y
— p" Sin. ydy y/(1_2)
2, / l — -p Sin.2 r) ( _p-; x 0 donne: Sin.2y p2, y _= Arcsin.p,
p2 Cos. y Cos. y
=- au contraire: Sin 2.=, y 0. Par la substitution de ces valeurs on obtient:
a ~1 - p-'
Sin. x dv (1- p2 Sin.2:) -= os.- - Si.3 x dx /(I Sin.2 ) =
p-3.....Co. 3
00 0
1 — P2 I o /fArcsin d fArcsin.p dy
] — p 2 B2 1) l rcs Cos - l dC s —. Quoique nous puissions reduire ces inteP" 1 yCos. y Cos.3 y
0 0
grales comme nous l'avons fait au N'. 21, nous retournerons aux intetgrales primitives, et nous y ferons
Cos. x = y; alors elles deviennent: dx/ {(l-p2)+p2 '2} et [(I-,2)dxr {(1-p2)-p2a2},
0 0
integrales qui sont de la forme des formules (58) et (59), MeWt. 1, N' 8..On a done:
5T ~ ~ ~ ~~2 T
J l-2vt -', p 3n2o —1
s2sin. o:&~'~/(] ---p~$i,~.~.S) Si- — '
| Sin. xdx /{(Ir p2 Sin.I xI Sin. (pdx /) ( I -p2 ' Si2 x-)-p
-- 2, ('. 7 2, N'. 3 et 6),
16p3 - p
di dt
et par le retour aux integrations de ' —. et, en y posant 0 et q pour limites:
Cos. y Cos.3 y
f1 dy 1 Sinz.q 1 1 + Sin. q.......
I Sn-+-.(426)
I Cos.. y 2 Cos. q 4 1 — Sin..
0
q dy 5Sin.q- - 3 Sin./ 3 1 +in.q.
] Cos. y SCos.( q 1 6 -- Si.f27)
0
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