Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 111. Ml. 7. N'. 28.

{q- Cos. x. t/ (qp 1 )} I+
7f
Cos. ar Cos. y, Cos. (v - ) - Cos. (y + a), avec les limites sc et 0 pour y; done:
{/) - COS. (V - ). / (p2 - 1) r + C - Gos. (.Z + a). ()2_1)}'*
I —. -- )..1 -- — o.- I dx. La substitution
~(J {q-,{-Cos.a.,/ (2 -- )}r+l
q./,1 q Cos.y+ p/(q'- — l- Sin /
Iq-Cos..(q - '-1 - ) --- —-----— dlonuera: _ ),os.x ~ Sin. -
Y Cos.y. vq v1 ) q+Cosy.k/(q2 -1) q+Cos.y.i/(q -1)
Cos. x dy q Cos.. Cos /y _ Sin. a. Sin. y + Cos.. V/(q - 1 )
Cos..- dx,-, Cos. (.r: c) - ----
q+Cos.y.t/(q2 —] ) q + s Cos.y./ (q2- l)
Les valeurs 0 et if de x dolnellt Cos. s = 1, y 0= et Cos y - 1, y = 7T. Par consequent:
I= |[lpq-Cos.a.4/(p2 — 1)(q'2 '- )+ [p/(q 2 -l)-qCos.a. /( 2 -1 )]Cos.X-Si&n..Sir a..p/ (p2 '- ) )1}+
o
+ (pq- Cos.Vt/(p2 - 1 )((-, ) + [p4/(q -l)-_qCos C./(p2 -l;] Cos.x+sin.:.Si..v'(p2 - )} ]]d.
Introduisons les auxiliaires k=pq —Cos.a.k/(p2-_ )(q2 -1), lCos.tp —=p/(q 2 1 )-qCos.a.V(p2 -- 1),
ISin^.tp - Si'. a.l/(p2 -1), alors: 12 == 2 -i, et apres l'elimination de lI 'integrale devient
I 1 [{c+Cs.C (x-P) /(k2-1)}) + {kI+Cos.(x-q-).,/(]k2-l)} rc d. Mlais ele peut encore
0O~~~~~~~~~~~~~~
ctre simnplifie de beaucoup, car dans le premier terme on peut 6crire evidemment = - J
0o? —?
et dans le second = J; de sorte que I = k + Cos. (x +- ). / (k - )}^ dx
) o? --
0 0 )
- f/tk + -Cos (Ga + ~ ). / (k - )}r d., + {k- -Cos. (, - cf). / (/2- i)} r dx +
p-? 0
j k ~ kCos.(.x-t). t/ (k2 —) 1) dv. Dans ces quatres integrales ' present effectuons les substitutions
respectives suivantes:: + (t -- y, dx -dy, avec 0 et Tc + cp comlne limites de y; x+(p- — y,
dx - dy, avec 0 et - (p comme limites de y; -p =, d.c-dy, avec -( p et 0 comme
limites de y; x - (p = 2 7r- y, dx -- dy, avec 2 r et 7r + (p comme limites de y. Ainsi les
fonctions h integrer deviennent toujours {k —Cos y. t/ (k2 —)}r; pour les deux intgerales de milieu
on a les limites 0 et -p, - (p et 0, par consequent elles se detruisent: pour les deux int6grales
extremes au contraire on a les limites 0 et r-+(p, x+(p et. 2 7, par suite leur somme est une integrale
qui va de 0 a 2r. On a done: I- ( - — ( ) _ = +c t+(os.x./lk2 1)})r,
O '0

P]age 313.
]1)f r, 3,.

40*