Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ErT METHODES VA TONES DEVALUAIO DES ITRES DEFINIES.

I. 2. N. 19, 20.

b-p
done a —p==0, et p -a': et pour X Z, 2 o= —, d'oiu q- ==q 0, q - b; tout cela
q —b'

nous donne:

b(^ -f l+ (O a+bx dx
]ax) d = (b —)
a 0

d'oil, pour le cas special de a =- 0, -= 1:
f6I o r (lax+b\ dx
f/() dbx= (- J E 1 + x I
=( a) j( + )+-a\ d
bstitosa premincoe dns les seconds embrs que 1)a prdete (310) et dot
res imi tes limite eront resetiveme et, e 1, e i vie.
f (x) dx (b - a) / f + ~j +,,j~
= (b - f)
riduire les limites a et b aux autres I et -........... (31)........... (32)
done dx - alors
y2 '........... (33)
* *........ (34)
derniere nous apprend a

Afin d'obtenir les limites 0 et -, on peut dans la formule (30) supposer x' = Sin.y, d'olt
1 %
cx = Cos. y. dy avec 0 et - r pour limites de y; ou bien x == Cos. y, d'o'i dz - Sin. y. dy avec
2
'71
les limites - et 0 de y (la substitution de x = Sec y on de x = Cosec.y dans (34) mnelerait aux
dx
emems resultats.) Faisons encore dans les formules (31) et (33) x==Tang.y, d'ou' dx - --
Cos.2 y
et 0 et ~rr les limites de y (la substitution de x - Cot. y dans ces deux formules donnerait la
2
meme integrale). Alors nous aurons:
f /(1x) d == (b-a) f {a + (b-a) Sin. } Cos. x. dx = (b-a) f a + (b —a) Cos. } Sin x. d'
' ~[a 0ba. d ' aarg0
lb laaq-) bTang.x} dx __(b -a)/~ fITang.x-b dx
( -a)]J 1 + Tang.x (Sin.x+ Cos.x)2 (b 1+ Tang.x.1 (Sin. + Cos.)2 ( )
20. oi ls rduions principales des limites g es a e b d'autres lies plus o
20. Voila les reductions principales des limites generales a et b a d'autres limites plus ou
moins speciales: toutefois dans la suite il s'en presentera encore d'autres, en consequence des
[11] LEGENDRE, Exercices de Calcul Integral, Partie 4, Section 2, p. 130,
Page 15.