Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. 7M'. 7. N. 25, 26.
1 '- r Sin. Av Cos. dx.
25. Dans l'ntmra le1 — ) (Si.2 -. (r< 1) substituon
j 1 - rSin. 2 V zSin.2 x7 - S.2 ) (Sin. -Sa 2 -Z ) 'i
Sin.'l2 Xr q2 (1-p2 Sin.2 y), oi q-== ASin..2 (; p2 = 1-Sl.2 ~. Cosec.2 J; alors pour x = ( on a:
2 I 2 Sin. x. Cos. x dx
p2q12 Sin.y2 y0 y, == et pour ix - a oln a: Sin.y2 y =,y -;- et y. 2 Si C
9',-p: q 2'Sin'.y.Cos.Y
S- Sin. x. Cos. ix dx
(Sin. 2 n. 2) (Sin.2 x-... —Si —. D1)'s-lors notre integralc devient, au moyen de Meth. I 0,N.3:
I/ (-sil.2 P-,sin. 2x) (Si.2 X ---- Sin. 2 a)
PI 1+ rrSihn- (xCOs.x c h 1 2 _ _+qr/(t-jp2 Sin.2X.) dx
i- rSin.v 7 /(Sin.2 X-Sill.2 ) a t2i.2 3 — Si.2t'); I- Iqr/(l —p 2 Sin.2 ) (i-p2 Sin.2 )
Il.I0 2 Si 2)
7r Sin.oc
= {-in.~ [SbrS eArcsin. (rSin.g) (T. 361, N0, 16). Par la meme substitution on trouve encore la forI Sin+.2" I X Co~. Zxd:2
mule de transformation:1 -______ - - - dy(SinA a.Cos -Sin S.2y)a,
a '0
d'ou pour a 0: | _ 2-). Cos,. -- T.2, (-t. 107, IN(. 1). [102].,f i=o (Si.,.' Sin. a) (Sin. S:ii. 2 x) 2 /.
a
J a+ Cos.. dtp
26. Soit l'integrale | Cos,2 ) (Sn2 -Sin2 t preons
Sin7 2 Sin. 7 a. Sin. 2 -- d'ont 5.2 x-Si. 2a —Sin. 2Cos.2 — n S22 X
nSin.2+ x.. / (Sin.2 - Si. a) (Sin.2 - os.2 y + Sin.).Sin y
Si1.2 (c Sin. 2 3 Sin.2 i [i-2 2- Sin. 2 aCos.
Sil'l. 2.S. d'o h" Sin. IX — Sin. i cc y- Si: O. 2 Y- 2Ct. S.2 '~-_
Si Sin. Cos.2 y ~ Sin. 2 a.SinSin.1y. Cos.y +ySin.'.S-. in. y
Sin. 2 [3-Sin. a
Sill. 2.o.y ' I Sin. v. Cos. x dx
-- '2Sin.2 a Sitn 2'.Sin.y. C(os.y y ( --. aux valeurs a et 3 de i
(Sin.2 a. COS. -, ySi n.r2 2.Sil, 2 y)2
correspondent les (dquations Cos.2 y = O, Sin.2 y - O, ou y == - et y = 0 done:
r
Cos.xdx 1 2
in i.~c-./aii.' )..2 ~: (S 7i.ci~l- dy2(Sin'. 2 Cs."+t Sin. 2 3 Sin.'. a2 y)a,. S. 2..
0
[102] Par la substitution (de Sin.. -— / elles donnent encore, si l'on fait Sin. a p, Sin. p q:
J t._ / 2 2 2 -F n-~,rc.,i,.(,.,,,),(r<l);.;420) _ (41)
S {1 lrcsin. )} 'l/ ydy )
1 —r I y2Y..P)(q2 -2) q 2' _ 2 )(q2- 2)
j l —^i/'y2-^'((/ —< -~J'^ 'J I/(y2_ —P"(Q=2 ) p'-y
P,
inlegrate qu'on poutrrait aisement dltduire an mnoven de MAlth. 1.
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WIS- EN NATuITL.RK. VERH. DER KONN-KL. AKADEItMIE. DEEL VITI.