Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

tli. Mde. 7. N. 22, 23. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Tang' x == Tang. y. [ -- -P' d'ou p2 CosI2 -
2 /. \ -........

p2 (1 -q2)
--- '2 ISin. x =
(l q2) +- (I —p2) Tang.2 y
2 1 -.9\ (,2 - n 2, 2

Y (- -_ p lang- 2__ p2 os,2 x + q2 Sin.2 x - = - -- - -- _ ___)6 -
(1- q2) (1-_ p) Tag.2 ' (i _- q)(p- q2) Sin 2 y
Cos. 2 x dy 1 —p2 dy (1 2)(1 -2)
=.= C d/' 12 -- - -; les limites de y sont 0 et -,et l'on trouve:
os.2 y 1-q2 (1-q2) —(p2-q2) Sin. 2 y

9T
I - p —2 2 dxz
)J 2(1 q Sin. 2 L/
fo2p, (1 -- q)

1.1
{-. — Sin. 2 x
1 - q2 J

p -- <pq2
Amfi que cette derniere forme reste reelle, il faut que P- I < 1, p2 q2 < 1-2, p2 < =
et aussi, a cause du facteur / (1- q2), que q2 < 1 on a encore p2 -q2 > 0, p2 > q2
done 0 < q2 <.p2 < 1. AMais a present l'integrale est une fonction elliptique, specialement de la
n p pa2 -_q 2 p2 - 2\
troisiedne espece: = 2 -- ) - ( 2( 2) 1 ) dolc par les transformaPts o —q2) in (a — 2) I —q
rions ordinaires [100]1

2 d2 C q
pCOS +(I -q. Sin,2 o _q2 Si2. 2 ) 2p 1
0

p — q2 ~ p2
I-q2 p2 - (-q2)

— E( ( A rcsinf. ) }+-+ UI( A rcsi n.) JF( V E 2 ) (V 2). (417)
1 1 — p
p9 \ 1-2 ~\p Pq 1-q p t 9 I-q
23. La substitution Tanig. X. 7'Tang.y =.. donne: 1 -p2 Sin.'2 xp —,
i1(-2) 1 — p Sin.2 y
Cos.2 -- dy 1 -dy (Ilp2) dy
i/( —p2) Cos.2y Tang. 2 y 1 g.2 — pSi2 (1'-22 Sin.2) -l-p2 Sin.2y)

tandis qu'aux limites 0 et - de x correspondent les limites - et 0 de y.

Elle donne lieu aux

formules de transformation suivantes:
b 2 Sin C. cp. o..
[100] A 1'aide de la formule: (1- '-. { ( — 1 b2 Sin.2 cp,c) - (c)} -=
-(Il - b2 Sil.2 2P)
-+1 (c). F (b, c )-bE' tc). F (b,) p-I'(c). E(b, (p)'; voyez VERHULST, Trait' elem. des Fonctions elliptiques, p.
20-.Q 1l —p2 7 2
103. Ici il est c2 -- 2 -= - i.2 q2
1-92 1-0 2 p2
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