Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METItODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mde. 7. No. 20.

dy 1 1-y2
20. La substitution de Tang.,v == y donne dx - Cos.2 x = Sin.2
l+y2 l 2-y'2 y2
71
tandis qu'aux limites 0 et - de x correspondent les limites 0 et oo de y. Ainsi l'on a:
2
P ^ —= f0,/ e 1
2 q_ V, (T.d,
2 Sin2, — ]p2 + 2 -$ - (T( 66, N~. 18), d'apr's Meth. 1. No. 8. [97].
p2 Cos.2 -- +a Sin.2 x p 2
0 0
Encore, a l'aide des integrales de Meth. '18, N0. 10 et 11:

2Co - Cos.P2.Cotq did f FCos. (p Arctg. y)
Cos. pX. Cos.p-2 X. Cots. x dx ==- I -
(~ + y2)ip
0 0
(T. 63, N'. 10),

dy
yq

r(p+q-1) n - >q>
r (p) () r Cos.q ' 9

J 2 SipXCsp-2xC Sin. (p Arctg. y) dy r (p -t - 1)
Sin.p.".Cos.P-2x.COt.9 d x ] --- y = -P-p)-' -i-n- 2>9>0; [98],
] t ( +y")2P y2 r(p)r(q) 2 Sin.. q' I rL q
0 0
(T. 63, NT. 9),

[97] On en dedui
et de la mimce manicre

vr.
(2 Sin.2 xdx 1 f f p2
to- i df --------- 1
] p2 Cos.2 x+q2 Sin.'2 x p2-q2 j p2 Cos 2 x + q2 Sin.2 x j
0 0..

1 Tp'V T \ TC p-q TC
=^ ~ p — _
7}1 2 2 - 2/ t 2qp2 -2) 2 2q(p -f- q). (403)

7/T
2 089.2 ' xdx
J p Cos.2 X -t q2 Sin.2 x
0

yr
I (; f404) 2 COS. 2. + qq 2i- p 405)
2 p sep( J p2 Cos +y 2 pq q +. (~
o

I
n

dcEt
P2- 4~dSin.r 2
p2 +ql Sin.2 x

2 CoS. 2, + (2 -tq2) Sin. p s_(p__ +2
O Cs.2x (p Sin x 2p 2 2)
0. (406)

T r TT
o _ _ _ dx- f d x I -—. 6,(40 8 ), d~. 8 ).
p q Cos.z (07) p -q2 Sin.2 x -2p q2) (- p2 — O 2 ) (409)
O O O
r+pSin. 2+q Cos.2 j (q+-r)Cos.2 x+(p-+r) Sin.2 x 2 t/(p+r (q+r) (q r)
0 o
71r
f 2Cos.2xdx n
[98] Pourp 2on a: r (p + q-1) = r(q + l) r (q), donc: ICs = xdx (l>>0),
j Tang.=x Co.qn
Po

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