Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

,1. 2. No. 18, 19. TIIEORIE, PROPRIETES, FORiliULES DE TRANSFORPMATIOI,
Dans le cas de f/() = —( ---s) elle produit la formule:
10 ii(It') C3L - 0
(x) dx+ x dx f(x) x>=........... ( 6)
O -b-b b
tlapres formule (8). An contraire dans le cas de f (x) = + f (- ) elle donne:
o f
f ('I) d/ a /f >() dx
Ajoutez de part et dautre f (xW) dx, et ii est:
re rb rb rb
f(x)dx+ f ix)d= f (x)dx=2 f (x)d..,.. (27)
-b o b o
De ces deux formules la derniere vaut par consequent pour une fonction paire, cest-a-dire, qui ne
change pas pour un x ne'gatif; la premiere au contraire pour une fonction impaire, qui change de
signe avec la variable x: au premier genre appartiennent par exemple les fonctions x2'", Cos. x,; a
dernier x22+1, Sin. x, Tang. x.
rb
19. Supposant =x z+ dans Pintdgrale ff (x) dx, on a d= dz; et les limites a —c
a
et b-c pour z correspondant aux limites a et b de x, on obtiendra:
= -.....
f (x)d s d f(,+ C) O o o (i...)
a a-c
ou lon a tout de suite substitue x a z. Pour c = a elle change ainsi:
b bb-a
J f d (x) f (,. +.) dx........ (29)
a 0
la formule pour reduire ule des limites a zero. En outre on peut se proposer de reduire les limites
a et b at nouvelles 0 et 1: I'equation (29) ne pourrait servir i cet effet, a moins que par hasard
la difference b-a ne fut exactement l'unite: mais pour y parvenir on peut agir ainsi. Supposez
x =p +-q z, d'ou dx = qdz; pour limites de z on obtiendra successivement les equations b=p + qzl,
d'oti puisque z, doit etre l'unte', b -==?p —t: encore a =p+ q z2, ou, puisque z, = 0 est le resultat
desire, a =p: donc encore q = b —p b-a. On trouve donc x = a + (b - a) z, et enfin:
f f(x)d = (b-a) f {a+ - (b -a)x} dx............ (30)
a 0
Au contraire, pour reduire les limites a et b aux nouvelles 0 et co, il faut supposer
__ P-qz (q-p) dz a-p
Z= --- d'oiux = ci-o det d. Alors on a successivement, pour - =, a,z == --
q-x 1- (1+z) qPage 1]4.