Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. M. 7. N~. 16, 17. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Jq lx cix 1 11 2 1 (q2-p 2
2f2_p2)2 2 lpF(r)- -(r)l (l- 22 ) =- - lpq.F' t / -. (T. 189, N. 18).
( 2) 2_2) q 2q 2q I. q2 i
p

1 dx ~ x I dx
17. Des intgrales I, = I i T ---'(lo o( - ) x

Soit XS2 = (1 y2)3,

dx
~ - -- 3y dy, a x - - 3y, (1 _y2) dy, 1 -x2 = 2 (3 - 3y2 + y4), avec 1 et 0 comme
1 1 —y2 1 /
limites de y; on a I =I, 3 2( -- 3 y d y, I2 =y )d 3 I2 - 3. Prenons maino o(3 - ) /(3-3
o O0

+tenant 3 3y2 + 2 3) (/
tenant 83-3- 2/ +-.?y4 == 8 -, d'od yo == 1) = -- - -
16 Z 2 1 y z2 4~~~~~z

2 -~/ 3

6Z4 ~- I 3
2ydy-== dz/3. +z -, 2z2/3 =3- / — -+V (3-3y2 +y4). Aux valeurs 0 et 1 de y
c8rsodn3 lq- /'22_
3 1 2-1V3
correspondent les equations 2 z2V/ 3 =: - / 13 2Z23 - +, d'oh z- =2 2 4

1 3/3 2It'3
et 22 ==- respectivement. Des-lors I, = —V J 2/
42-3
lV 4

1 2 1
-J- -^-:-+ '2V/3 16z2 d
v ( )2+/3(V 42-V )
^^ "^-H "4-)s

I'2 da-z/^1/zV+. A present supposons z2 Cos." 2.....^ 41 } 4 4
2 - 3 2 + /3 - / P+V 2
2 _ 2 / =2 Sin.2 cy, + 2 4- 14 + 1 2 Sin.2 - -1 4 Sin. 2 cp Sec2 e
4 4 4,
2 Sin. dp a 2- /3 1
dz =. a valeur / de z donne Cos. p == 1, cp 0; la valeur - de z
Cos. cp 4 2 IY 3
au contraire Cos.2 cp - 2 3/ 3 - 3, cp Arccos. / (2 / 3 - 3). En substituant ces resultats on aurait
dans la valeur de I un terme au facteur Sec.2 cp: pour nous en debarrasser, (ce qui est necessaire afin que nous ayons une integrale toujours palpablement finie), retournons vers son expression
en y; &tons-en un terme - 3 fd, puis introduisons la substitution de z; alors:
o

I =-3ldi+ — 3 '(1-~ 2)+V/(3-'- 3y- +Y) dy = —3 2 '
aI, 3 /3_s,2 (:y — +) 3s 0.
o o 72-/3
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1 1
'+ 2 _z
2V3 8
[Z z~+ <d
4 4