Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MlETHODES D'YVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

III. ~de. 7. NO. 15, 16.

J dx, j2 -n 2 2 2 O
15. De l'integrale I (2p) (q2 2). Supposons l= Tan.2 T y, 2 = q2 Cos. 2 y +
p
+ p2 Sin.2 y _ - (q 2- p) in.2 ), q2-x 2 ( 2 -p2) Sin.2, X 2-?2 == (q22 p) Cos.2 y,
2dz -==p (p — ) 2Sin. y. Cos ydy, tandis que les limites de y sont ici - et 0; par suite:
2

Jq dx
Jp ( 2 p2) ( 2_x2)
p

/ (2 q 2 —(q2-p2) si.2y3} q' v'
O~~~~~(

dy
-- — P2 Sin. y}
q
*2 9,
~ q3 d2

1 '

I Ol 1) - p2
"q}2 __ 2}. (T.
- r -~Ja (

359 N. 8). ]De minme encore:

p
P

V/ (x2 _)p'2) (q2 -- x)

7r
[q dz fd /__2_2 91 9,f 2 —p'>) 2 (qg2p2) Sin^ y cl
X=q Js....2 ){q2-2) I2 ( p a,/^ 2( —2p2) J.y}
P 17 o
= n'(~ q l { - 2 2 2( 2 2 22 2 _ 2)oij x2 -
~~Op p 0
{ q2 _ j 2V {q2 pzI _) f.
- ]~ / qz - -p. ) j 0
0 0

2 p -t 2 1 2 2{+1 2 = 2 2'
Les memes considerations donnent encore aide de Mt-. 3, N '.
Les eron3es considerations donnent encore t l'aide de Aie'th. 3, l". TI:

(T. 35, N'. 9).

Iq x 4 dx
'2 p2)(92 -2)
p

2qv + ( 2E' j —. (T.
3 p 3 q f

35, N~. 10).

1.6. Pour 'intrgrale

J
73

Lv dx I, p2 q 2
- -- il fa(ut prendrec.) 1 9. +, - d'o't
l/ (t'L'2_9-2') (q 2_ —_ 2) 7'2 Cos. 2 y- p S^in.2 y
v/ (,i-b;; I-,) 9 ~~v~d.,, -

(q __p 2) py 2 S —.2, -x2 - (q2 ) )qCosy 2dzp9 (q 2-p) 2)Sin.y. Cos. (/
_. 1) 1) - 12 — ~' - -x d ).sip.'~'.P 2 2 —( 2-p 2> y 5.2y 92a_2_(q _P2).Sin).S/ 2 ".i2- ( 2 ---p2)S,1i.2y}2*
De plus pour X - p, on a Sin.y == 0, y = 0, et pour x, -= c on a Cos.y - 0O,?y = -; done on
2

trouve pour notre integrale:
Ij21, -I (1 ( - i.2 - __
1.J fp(1-(_. r2 Sil.2 y)
0

2pq-Il q1 f 2 -(q^-p2) Si)j} 12 2
j1pq 2( ) 2- ^ 2- 2 lq2
I / fq — (-q 2 p)S&I.2 Y}
o

dY)

1 2 ___ y _ dl __ 1 21(l _ Si. 2 y) cd
pi/ (I1- - Sin.2 y) 29 J / (1 —r2 Sin.2 )
0 I 0

Or,

comme la premie2re integrale est V (x) et quo la seconde sera evaluee Mieth. 17, N'. 16, on a enfi:
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