Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mde. 7. N. 11, 12.

Go dx odx 1 1 [1 ds 7r
seront1i et 0, et I ( dx 1- 1 — I -, (T. 38, N~. 8), suivant
J eP +e-X px - p + 2 4p 2
o I 0 — o
Meth. 1, N. 8..
Lorsque p: est imaginaire de la forme p + qi, on peut agir comme suit. La substitution

e(p+qi)x = y donne.f dx r ex(P+qx d 1 d=co dy
I e(P+qi)x -- e-(p-J+qS 1- e(P-i)xx + e(J 1 +-
0 o x0 -

- 1 -- d. Arctg. y = Arctg. (e(p+q)x)
p + qi p p+qi o
x=O
1 - 2 ePx Sin. qx +- e2px
Or, a l'aide de C. P. 24 et 51, Arctg.(e(P+qx) —=r7r + Arctg.y + il- Sin. q
1 2 ePx Sin. qx + e2Px'
oil - e - - 2 C. Pour les limites 0 et oo de x, l'Arctg.
2 Cos. qx
devient - et -, et le logarithme s'annule dans les deux cas; donc Arctg. (e(P+qil)} = r
4 2' o

t 7f 7r
+ 2+0-,r++o) =- et
2 4 2rn~n+0/ n
a a~~~~

0o
e(P+qi)x — e-(P+i) p + qi 4 * * '
o

00 dGo
I1 ( dx - dx
__;.. ---— f391) s== f -----------
2 j Cos.{(q-pi)x} * - J, (ePx + e-Px) Cos. yx + (ePx - e —P) i Sin. q
o 0

O. (390). (392)

par le calcul des exponentielles imaginaires.
1O e-Px dx dy
12. Dans les int~grales- I f — -- substituez e-px =- y, - px == ly, -p dx= —, alors
J ^q ~t y
ozl

fO e-Px da 1 dy
9 P9 =F IY

IJdy
T:: 1. ye:TPq:: e-P
of-l^

Jd. lye4Pq ^IrFld,
-I -- t_ + =F e e P~Pq -par la subl yeJ-P. I z
0 O

stitution ye=:Pq = z; mais cette derniere integrale est par definition li. (eTPq), done:
— P~ dv e-pPx e- dxv
e =d-. epq li. (e-Pq), --- e-P li. (eP). (T. 129, N0. 3, 9). Leur combinaison
0 +x eq-x
o so o
par voie d'addition et de soustraction donne encore:

e-pxd 1 e d 1
j _2 -2 3 {e-Q Ui (-eP) -- ePq li. (e —Pq)}
(T. 130, No. 10, 12).
Page 297.

e — -. - I {e-q li. (epq)+eq li.,(e-Pq).
q 2 - x 2.
o

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