Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M. 7. N~. 8, 9.

Mais cette substitution suppose y <1, puisqle autrement l(1-y 2) deviendrait imaginaire: pour y - 1
Idx dx + ) — +X4
on a = 1, et il faut diviser notre integrale en deux autres d ' ( -4)' + j x ' -+x4)
C'est pour la dernilire de ces integrales que vaut la substitution mentionnee, ou encore les limites de y sont
ro - — dy x/2 y2 -1[1 dy
respectivemen 1 et 0; elle devient dels-lors: -7 -
'1 0
~\ i ^.i,, i,. / (y/ +l ) — a-y'-~ ) - dy
Pour la premiere il faut prendre au contraire =w ( — ), d'oh dx =
2 V /(y_ —1)
1+t2- = /V(2(y2+l)}, 1 — =,I/{ 2(y2-1)}, 1 — " = 2x2 V/(y4 —), 1+-x4 = 2xy2. I1
resulte des valeurs de 1 -Z2, 1 — x2, qu'l la valeur zero de x correspond une valeur c de y,
tandis que pour x =1 on trouve encore y = 1: done notre premiere integrale devient:
I — i dy d 1 2 dy 1 fl.z 1
I -— 1( — J2,/ 1'2x 4 - -- -- V ' —L _ -,, -- lorsqu'on y suppose y =-.
J /(y4 —l) z"- V/ 2 (y_ — 1) V/2 1 1yX4 4 - -
WC 1 0
Comme par consequent ces integrales partielles sont egales, mais de sigiies contraires, on trouve:
f - o1 + X4) 0.................
0
f'xP1dx. 1 —/y 2 — dy
9. Exercices. Dans - soit x - 1 +xt' - dx -=
f (I+ x)p/ (1q- +Vy) )/Y
0
I x P-d1 dx f_ 1 r (p) /A
avec 1 et 0 comme limites de y; alors I 1 - (1- y)p1 Y- -y 2 rfp-+ ),
fj (x)P- d2p p 22PF r(p+-)'
0 *0
(T. 4, N. 3). [91].
Lorsque dans I1- -{2, + 2(c-2b2) X2 - on P rend ax2 + c = y,
o
2axcdx -dy, avec les limites c et oc de y, on trouve:
[90] Voyez sur la. premie're substitution de ce N".: EULER Instit, Cale. Inteygr. Vol. IV. Suppl. I.
~ 57-61. II s'etonne lui-meme de cet artifice, a scopo prorsus aliena visa": mais il lui echappe, que cet artifice
se confond avec la i/ methodus prorsus planior" des ~ 62, 63, puisqu'elles donnent toutes les dleux: 2 2y2
[9 1] Car dans 1'iLtegrale T. 1, N~. 8, (Meth. 4, N'. 6, Note) prenez q 4-|-, alors, puisque r(1-.) V tr, on a:
11 dt r (8)
J1 ) /....... (89)
0
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WIS- EN NATUTURK. VERH. DER KONINKL. AKADEAMIE. DELL VIII.