Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II1. Mde. 7. No. 7, 8. TIIEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMlATION,

-2 -dy
dx L / 3p -— (1 - )2 avec 1 et — 1 comme limites de y. Bien que y acquiere un maximum
pour x = oo et pour x =- -, nous ne nous en occuperons pas, puisque ces valeurs tombent
l+y3 2 4 1 —y 3
hors les limites 0 et x de x. On a encore: I-+9p x 4 —, lpx2 =- --
(1 -y)3 3 (1 + y)2 (1 -y);
3 r-l 1, y2 dy 1- y2
done pour notre int6grale 2- V-. La fraction a une valeur
Pj 1 _y3 lp1+ y3) ai- 3
1
dleterminee, mais quand on la separe en deux parties, aux nume'rateurs 1 et -y2 respectivement,
celles-ci deviennent infinies pour la limite + 1 de y. Changeons donc provisoirement les limites en
- 1 +- b et 1 - 6, ol maintenant le cas de discontinuite est exclus; separons la fraction en deux parties,y t
aux numerateurs 1 et y2; supposons dans la premiere = 2 — et dans la seconde
(1 + y ) 3/ 2
1 U dt - du
-1 =]; on trouve respectivement -- t — et -- du Les limites en
1(1 + y3) V21 2] - 1 2 1-u3
* (-1 _ ) t 2 (1 - 8) 2 t,
sont respectivement et et
t (3. _- 332 +4-3) (2 —33+38 g-3)' (3_- 32 +d_3)
1 2
- ('2- -3 - 3 -2 6,3)' ou quand on passe a la limite zero de c, afin de retourner a l'integrale
primitive, - oc et 1, oc et 1. On a donc:
_ dx _ 5 3 1 1r f ds S ~- du
j (1-+px2) lf(1 + 9 p2) P 3 1-t3 j 1-f - b3
O -oo CO
1 3 f00 d 1 f[f d fo d. r )
=== - v/ -i j, - K3 1 V,- -I I 2r3 -
4 P j -43 4 p I - I - jv
-0o 0 -00
-La premiere de ces integrales a ete evaluee Meth. 2, N'. 4; dans la seconde mettons = y, elle
dy
devient f 1 3 e'valuee an N~. avant-dernier. Done enfin:
0
00 dx 1 3 f 7 2 1 7f
Jo# ~ 1V — + -. (T. 28,N.1).
(1 +p 2) - (l+9px2) 4 p t3 3 31 73- 3J 4Lpv' p
0 d 0 ( +,) + / (- )
8. Soit l'integrale dx (1. Prenons x = y 2 + alors
1-jl x4 y /2
o
dx ----(- -y)+(I+y2) dy xdy x2 l+ iw(-y4) +x_ - i{2(l+y2)}
yV t{(1l-y) } yV(l1-y4) y2 y
Y Y ~ ~ ~ ~y2 2
- {2(lPage-yt)} -2.v21-7 y) 1l 2-y2
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