Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIN1ES. I. 1,2. N~. 16- - 8.

Limn. In — q (x)f(n) ((x) xn dv 0, Lim.n= co............ (2*)
a
Car alors pourtant la serie precedente peut etre consideree comme une s6rie ifinie, tandis qu'elle
doit converger necessairement en raison de la condition (23*), que le reste a zero pour limite.
On a done:
J f () )rp (x) d,2 (f(n) (O) xn p (x) dx [10]... (23)
0 J
a a
pour la relation cherchee.
16. Observons encore qu'il est quelquefois necessaire dans les transformations d'integrales
definies, d'introduire une autre variable: mais quand une fois cette transformation a en lieu, on
peut remettre pour cette nouvelle variable y, z, ou quelle qu'elle soit, la variable primitive x: or
il suit de l'equation de definition (6), que la valeur d'une integrale definie depend seulement des
linites a et b, mais nullement de la variable,5 et par consequent on peut la changer sans que
cela ait aucune influence sur l'integrale d6finie elle-meme. On ne doit pourtant pas perdre de
vue qu'il s'agit ici d'integrales dcfinies, puisque a l'egard des integrales indefinies il n'en est plus
de meme.. 2. CHANGEMENT DES LIM[ITES.
17. Dans la formule (8) de Nr. 8 prenons b = a; l'integrale dans le second membre aux
limites a et a s'evanouit, et nous aurons, en ecrivant desormais / (x) pour f' (x):
Jf J (-) d) d= z-. (24) c;
c a
ce qui nous apprend a invertir les limites.
rb
Maintenant dans lPintegrale f (x) dx substituons z _- \5 alors: dx - dz et les liimites
a
a et b de x donneront pour limites correspondantes de: - a et - b: on trouve des-lorsv
rb j4b- f-b -a
f /(d) = ] -i )(-d-,) =- x) dx= ( —) dx... (. 5)
a -a -a b
par emploi de la formule (24); et nous avons la regle pour changer le signe des limites,
18. Pour a zero cette derniere donne:
f(x) dx- f (-x1)dx=0... O.. (
0 b
[10] DIENGER, Journal von Crelle, Bd. 38, S. 266,
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