Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Mad. 7. N~. 2, 5. THEORIE, PROPRIETES, FORglULES BE TRANSFORMATION,

Jl - dxa_= 2-212,.. (372), - -^dx = 212. (T. 15, N~. 5).
] 1 - <a? I Z1 /"Dans l'integrale ( mettons p q-x =y2, d'oui q dx 2 ydy, et V/p et oc
(p + q x)b+r
pour les limites de y, done:
dx 1 2ydy 2 -1} = (37
2d. yt2bo {O-pib}.(373)
J (p_}- )a+I qj y 1 - q (2b-1) (2b —1) qpb-2
+l dx
3. Dans lVintegrale l 2- - substituons 1-2px-+p = y2, alors -2pdx - =2y dy.
J I/(l1-2px+p2)
Quant aux limites de y, on trouve pour elles i t/ (1- p)2 et ~/ (l+p)2; la dernie're est toujours
l+-p, mais la premiere est ici 1 - p ou p - l, selon que p est plus petit ou plus grand que lunite,
puisque y ne saurait devenir negatif: car pour ia valeur maximum + 1 de x, la valeur minimum de y2
est (1 - p)2, toujours positive et jamais zero, de sorte que y ne peut s'annuler pas d'avantage. Done:
r+1 dx -1 ( -Py dy 1 fl+P 1I
V/ (1-2x^p - dy=- {( +P-() -p)} 2,p<],
J t/(1 — 2 p + p ) p y p p'
_I I-f \-p
-- 1 1 -+1 1 2
ou d= - 1fP — - y = =-{(p - l )- (p — )} = -, p> l. (T. 17, N~. 7, 8). [8s4].
P I p-1
Au moyen de la meme substitution on trouve, luisque 1 —2 q x+q = - {(p-q) (1-pq) + qy2}
P
f+1 dx1 (Ip)2 -ydy 1 {l+ dy
-V(1-2px+p2)(1-2qxjjj { ) +qy}V +{(p-q-)(-2-pq)+qy/
1- - V]-t) (+p (p-)(+^,] ) (1-p)2
dl +P((p- I (l+9) t/p+l '+p) t//q
/-pq dl [ {(p-q) (p-q)}YV] pq v' (1- q) p+ (1-p)2 q
ti ~ ~ ~ ~ ~ ~q/( p)2)2tp+l p)2
Or, ici il ne faut pas seulement distinguer les cas ou p est > 1, mais aussi ceux, ou q est 1,
comme on pourrait deja le conclure de la symetrie de l'integrale par rapport a p et q. Done
on trouve:
[84] La differentiation par rapport a p donne:
/1 (I 2px + 2 O (-0(2 1),-<,(p'l). (T. 17, N'. 9, 10).
Page 290.
Pagye 2 90.