Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Ill. Mlde. 6, 7. N~. 9, 1, 2. THEORIE, PilOPRIETES, FOR15IULES BE TRANSFORMATION,

co
J (,i)P — exidx = e 2(IP-)ieiPPr(pl e-(-P) ze —P i (p) PF(p) eP — 2)i e(i-p)i} 2r(pSin.pi,
- Go
(T. 142, N'. 1), et tout de mrme:
(-xi)P' exidx =el-( -1P)i e27i r (p) -4- (p-l)i e-Pri (p) = r (p) ( e11 + e- 7i} =
= r(p) Cos. i7 = 0, (T. 142, N~. 2),
-00
+- e(1-P)Tei ( e l)Piei((pq - l )rir(p)1)P(p +q1 ){e(Ph), e(i-P)7i} 2Sin.p T.P(p+q-i),
(T. 142, NT. 5); ici lon a partout p < 1.
~ 2. MET-ODE 7. CHIANGEoMENT DE LA VARIABLE
1. Quelquefois on peut rendre une integrale d6finie plus simple ou la ramener a quelque
autre integrale connue, par un changement convenable de la variable; on a imagine dans le cours
des operations transformatives plusieurs artifices de calcul de ce genre, que l'on trouvera expose
ici, Les resultats heureux se fondent en general sur la circonstance, que par un tel changerenet
les limites de l'integrale definie par rapport a la nouvelle variable changent en ml me temps, mais
qu'au contraire, apres l'introduction de la nouvelle variable, on peut donner a celle-ci le meme
inom qu'auparavant, ou, en d'autre mots, que la variable elle-mnme n'entre en rien dans la valeur de
l'integrale definie. Dejt dans la 1Methode precedente nous nous sommes souvent occupes de ces substitutions, et l'on a pu y rernarquer tout l'avantage que nous retirons de cette derniere circonstance.
Observons que d'apres la Premiere Partie N'. 25, on ne doit pas perdre de vue les cas de
maximum ou de minimum. de la nouvelle variable, qui peuvent parfois se presenlter, et qui donneraient lieu a des mesures de precaution.
Ces substitutions se divisent convenablement en trois Classes.
Classe I. Ot x est 6gal a une fonction algebrique de y. Substitutions algdbriques.
Classe II. Ou x est egal a une fonction transcendante de y, (eY, ly, Sin.y, Cos.y, g. y).
Substitutions trcascen dantes explicites.
Classe III. Oiul quelque fonction transcendante de x est egale a une fonction transcendante de y,
Substitutions transcendantes implicites.
Classe I. Substitutions algebriques.,Go Cos. nx d, f SG.Pi p dx
2. Dans les integrales -— j- et e - 1 —, substituons q-I-: y, dx dy, avec
j qD-x. q +-{
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