Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MET1IODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III.. 6..N. 7-9.

o, I 2
forme: e P z 2dz, evaluees Meth. 3, N~. 7.
0
Dans les cas de a 0 et de a = 1 on trouve:
[ _Lx dx _1
Je 2Px e 2p p7r, (T. 140, N~. 5),
f0 ol~ X I I
2Pxo 1 —x - 1 1
e-?2 dx/ x e-P/ pr/ [tV/ + p+-V ] -- (1 +p)e -PV2p. (T. 139, N'. 7).
o
8. Enfin on trouve deja dans la Partie Premiere une application da principe de cette methode dans les formules (26, 27):
J"
~[b
- 2 J f(x) dx, lorsque f(-x) = + /(x)
o
Ces formules sont d'un usage tres-frequent. Par exemple, a l'aide de Meth. 3, No. 7, on trouve:
e-p2 xx2a+i dx = 0, e-P2x22a dl = - -, (T. 142, N3. 9 et 8);
- co -o
et par Meth. 4, N'. 7:
e-2x2 d x - 1/' T. (T. 40, N0. 4).
P
J2-00
9. On a:.co /~co /Co co rco
(i)P-1 exti dx =- (iP- exdx + (.d )i)-l ex dx = iP-l xP- exi dx + (- iP-1 P -I e-xidx
par la substitution de x =-y dans l'integrale entre les limites - c et 0. Or, on a:
e~xixP —dx == e:iPir (p),.. (369), [82], done (C. P. 4.):
o
[82] Elle suivrait de T. 113, N'. 16, (Meth. 3, N'. 7) quand on y prendp =0, r 1,a= -p-l, p<1).
Car alors: fe:SxiP-1 dx (Pi) eiP: ir F (p), voir (C. P. 4.);
o
mais la supposition zero pour p n'y est pas justifiee, et meme elle ne serait plus permise, aussitot quuep serait
> 1. Or, plus tard, Meth. 18, N'. 6, on trouvera les valeurs de Cos. xP-l dx et de Sin. x. xP-1 dx (p < 1),
o o
qui conduisent aussi a l'integrale (369) sans donner lieu a aucune incertitude.
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WIS- EN NATUURK. VERI. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.