Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IIl. tM. 6. N~. 6, 7. THEORIE, PROPRIE'TES, FORMULES DE TRANSFORlMATION,

Eo j 1+( 2 dx f 1(4 \)2 dx J1I (l++;)2 dzv fI1~+ 2 dV 1
Encore: - IL _1 -x X(l t2) --- l --- -- - 1 I2
j \l-x/ X(1+0,2) J l-x2(l+^^ l \i_/ 1 2?.
(T. 183, N0. 3), d'apres Meth. 4, N0. 10. [81]. On voit comment, dans ce dernier cas la trans~
formation simplifie Pintegrale.
coo 2a-1 1 -x2
7. De l'integrale x 2 e 2px dx. On peut diviser la distance des limites dans les deux
o
1 — dy 1 +2 1+-y2
autres 0 a 1 et 1 a:c, et prendre dans cette derniere x = —, d -- --
oo 2a-l 1+x2 1 l+x2 2a -1
avec 1 et 0 comme limites de y; donc: x 2 e- 2px dx = e 2p d 2 + 2a+32,
0 0 2-
d'oah il s'ensuit d'abord que dans l'integrale primitive a peut devenir negatif. Prenons maintenant
1 - -x 2 (1 ) ( l-x)2 y + y-1 y —1 y-1
--- Y9 - y —1. -, /x =-: V -- +/..9
2 2 R x 2 2 V' 2 2
dx - 2dy
1-0 —^ V(y21) 1tandis que les limites de y deviennent Go et 1, donc.
x (y 2-_1),o 2a —1 '+x 92' d / G o l\ 2a+lf
- e — 2px dx = e~P -.. -- - + /
0 J;-i2 '1
0 1

y~ 1 /Va )3
2 2,

A present posons y -1 2 z2 et developpons les puissances des binomes, alors:
co 2a —1 +1x2 1 oo 1+z /2 + 2\a2 e- 2px c1z e P z2a dz --- =
a2 — o n j
0 '
0 0
1i4~ a( (w -^ ^2 a+1
-- e-P e- P dz{ 2
2a —} O \ 0 y

(2 + Z2)a-n z2n

Dans la derniere integrale on n'aura apres le developpement du binome que des integrales de la
dx 7r
et celle de x = Tang. y, 1 - 2 =- dy et 0 et 2 comme limites de y:
-, - cly t 0 e

7T 7r
2(I Tang. x)2a+l dx = 0, J Tang.X)2adx - 2)-12 2a+ -
o ( n 1
f*I [l 4 Tang.y\2 dy 1
[81] Pour z = Tang.y on a: 1 -— 1- - ann-r y 2 (T.
P 1- Tang.y ng. y 2
0
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(T. 333, N~. 14 et 15),
340, NY'. 14).