Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET lETHODES D'IVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I1. l.- 6. N. 5, 6.

les substitutions x =- a — y (dx - -dy, Sin. - Cos. a. Sin.y, nr et 0 limnites de y) et
x = ar +- y (dx == dy Sin. = -- Cos.ar. Sin. y, 0 et r ilimites de y); nous trouvons:
r 7T 7r 7r
Sin.-= SiZn.x-+ Sinx Sin.x - Sin.x- —...f- + Sin k.
d 2 di. 2 X 'Jl —x J z. j
0 O O O 0 0
Dans la derniere integrale, - qui est ici une integrale de correction, lorsqu'on passe a la limite
oo de k, - le facteur Sin.(- k -r + x) reste toujours fini entre les limites -1 et + 1; l'autre
1
facteur -+ au contraire s'annule pour la limite o de k: done on peut omettre cette correction. Comme en outre toutes les integrales ont en commun les limites et le facteur Sin. x, on a
2 fl 1 1 1
(C. P. form. (71)). x Sin.d- dx — I - -- -.+ _+.. = -
o. x x n - r -x 2 --.
0 0
7r
- SiSn. xdx.Cosec.x dix ^ -,n. (T. 194, N'. 1). [79]
0 0
6. II arrive frequemment que la distance des limites 0 et -x peut etre divisee avec avantage en
____ dx 4 dx [ dx
deux parties de 0 a I et de 1 a oc. Ainsi:- lx - 2- lx Posons..J 1 —x0 j' — QG 2 f 1 2
0 0
I cdy
dans la derniere x -, dx - - avec 1 et 0 comme limites de y, alors:
o dx I dx 1
_ -i-x- I 2 f - -r 2 (T. 187, 7N. 3) suivant Meth. 32, N'. 5. Done aussi
J1 -- X 1 -- -2 8
0 0
fe - - = - -- o2, (TU. 180, N~. 11)
A -[- dx1
De la m manire j( x)a --- 2 [I + (- 1)] ()a 1-x ou, puisque ici il faut
J,,. 1 +- ^ 1 -] a?
0 0
faire distinction entre a pair et impair, a I'aide de Meth. 22, N~. 38
df dz dx 0 ()n
(I )2al 0 o, | (lx)2a / 2.12/', ( (T. 180, NO. 3, 4.), [80o]
J+,a) 1 + x2 1+ ' o (02n+1 )2l
08~~~ O~~0
[791 Deduite autrement Meth. 17, N'. 3, Meth. 21, N~. 3 et Math. 34, N~. 1.
[80] La substitution de x - eY donne:
Pa~t~a1,. 12adr cz (-' )n
dI ---- =0,... (367), 1. l2a/ --.12/ (368)
J e + ex ex + o (2 n + 1)2a+l
— 00 -800
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