Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. t. N'. 14, 51.

THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

A<p, + + -... pn < B, il s'ensuit A, p, I, +P2 q+ -... + n qn <Bq,
Quand q, est niegatif, on n'a qu'a changer le signe de linequation precedente [8].
A present soit pn =6f(a + f n - 1i] S) et qn== cp (ac -- [n - ] ),
alors dans lhypothese A < ~ [f(a) + (a + 8) +... +J {a [- n - 1] } ] < B, on a:
Acp (a) < [f (a)p (a) +f (a + 6) cf (a + 6)+... + f a - [n - 1] 6 cp {a + [?2 - 1] 8}] < B (a),
Substituons n8 =- b, et passons a l limite de n l'infini, les membres moyens de ces deux
inequations deviennent des int6grales definies, et nous arrivons au resultat suivant:
Lorsque l'integrale indefinie f (x) dx, pendant le passage de x depuis la limite a vers b, reste
toujours enferme'e entre deux valeurs determinees A et B, et que d'autre part la fonction p (x)
decroit continuellement pour ces valeurs de x, il s'ensutt:
Ap(a) < f(x)cp(Q)d <Bcp(a)....... (21)
De la meome maniere on obtient le theoreme:
Dans le cas que cp (x) augmente continuellement depuis x = — a vers x = b, et dans les menMes
suppositions que precedemment, on a l'inequation:
A cp (b) < ff( () d < B (b) [9]. (22)
a
15. De la formule (16) on peut deduire encore une application remarquable a cette int'grale
rb
definie f(x) cp (x)dx. Or, le theoreme de MACLAURIN 1nous donne exactement, comme on sait:
X;2 X1''- I
fy(,) -f (0) + x ' (0) + - (0) +.. +. -. (0 ) - 1f) ( x), 0 < 1
lorsque toutes les f(P) (0) sonlt Rnies et que les f() (x) sont continues pour toutes les valeurs de a,.
qui tombent entre les limites a et b de x. Ainsi nous avons encore:
rb Cb rb b'fQ) b
f (x) CP (x) d. = f(o) I () dx + () ) p 1( j (p) d +-t
*>+ l — p (s),- 1 d + 1 (i) f ') (00 is) X c.
P -l 4-12 q2 +... + 2nPq:et ensaitep q +~p2 q2+... +Pnq<p q +1<2 Lp+... + pnq-, done:i plus forte raison < B q.
[9] OSSIAN BONNET, Journal de Liouville, T. 14, p. 249. - CHARTIER, Journal de Liouville, T,
18, p. 201.
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