Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. d 6 N 5 THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATIOiN,
Jra fT f27 62cT f(2c-+1)r
x.i ((Sinl..cn.) cx t ((-Sin.)) d - x..- /) (((Sin. x))dx+. xl (()) dJ(Sin. x)) dx4 -0 o 4 (2c-l)7 2cfa7f 2cr
L] I l ((Sin. x)) dx. Pour x (2c-I) 7-~ y on a dx == dy, Sin.. ax Sin.y, et1 -((Sin. x)) dx -
(-I)TT w(2C-i )7r
= 2- (2c-1)- y}l ((- Sin. )) dy - (2 c - 1)c I ((- Sin, )) dx + x I x((- Sin. c)) d~x.
0 0
*o o 'o
Pour x= c r -- Y, on a dx =- dy, Sin.x == Sin.y et
J(2C+] )7t 7 -
1 ((Sin. x)) dx = j c(2 + y) I ((Sin, y)) dy 2 c j I ((Sin X)) jcx + | 1 ((Sin. x)) dx.
2c: 0
Done a l'aide de MeI6th 4, N'. 3, pour ces deux integrales generales:
4per:c 'i 4c- 1 IN
xIl((Sin. )) dx = (2c -.) =T (( —Sin. x))dx = (2c- - i+ I((Sin. x)) d,
(2cP1lj 0 O
x I ((Sin. x)) dx (2 + )r j t ((Sin. x)) dx.
2C7 O0
Mais pour la determination de la derniere integrale dans la serie d'integrales, il faut distinguer
entre les cas de a pair et impair: des-lors on trouve:
x i dx2' (-+/-t,,,+) +- zTI((Sin.(x)) d.L- ( I- I + + A 7T
"l)n7C 1]1 a ~) l;a~ — ~
%o 0
37 r s a + I
f 2
- g 52 a.24 }, x| I((Sin. x)) dx -- a
0
((2a~)lnt / 35 4a-l /3 47 4aa1l
l((Sin],v) d'x = j -+-4-+ 4 -S- Idx
0 0
1 2 a
-. (^a + l) 2+, I l((Sin.) dx+ - a,
C —& — (2 a4,-1)2 2 24 -(O I1) {(i2a+1)(4r+l)-+1} (4i (T. 421, N0. 4 et 5.) [77];
[77] Ces integrales sont dues Ic CLAUSEN, Journal von Crelle, Bd, 7, S. 309; mais il les deduit d'vne
autre imaniere (Methode 22), en developpant lS h. x dans une serie.
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