Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I. 1. N~. '35 {4.
13. En deuxieme lien la formule (3) nous apprend que, lorsque f' (x) garde le meme signe
entre les limites a et b, alors lintegrale elle-meme aura necessairement le meme signe. Done uzne
integrale ddfinie Jf (x) dx est positive ou negative, lorsque f (x) est toujours positive, ou toujours
a
ndgative pour toute valeur de x entre les limites a et b.
On en deduit: Lorsque f (x) ne change pas de signe entre les limites a et b, on a toujours:
fb rb
(px) (x)dx {xa + (b - a) o f(x) dx, oit 0 <1......... (19)
a a
Car lorsque la fonction, (x) obtient sa plus grande et sa plus petite valeur respectivement pour
x - g et x =p, c'est-a-dire que pour toutes les valeurs de x entre les limites a et b il est
q (g) > cp (x) > p (p), on a, supposant que f (x) ne change pas de signe, laissant cc signe hors....
du calcul, ou plutot le supposant positif:
] (g)f(x)d> (x)f (x)dx > (p)f (x)dx, ou c)(g) (x)dx > qf (x)f (x)dx >K(p) (x) dx;
a a a a a a
d'oil, pour une certaine valeur h de x, situee entre g et p, Jf i()f(.x)dx ( ((h)f (x) dx.
a a
Cette valeur i, situee entre g et p, tombe done aussi entre a et b; et par consequent on peut
l'exprimer ainsi: = a + 0 (b - a), pour un 0 quelconque plus grand que ze'ro et au-dessous de
lunite: de telle sorte on obtient l'equation (19), pour le cas de f(x) toujours positive: quand au
contraire elle serait toujours negative, on n'aurait qu'a changer le signe des inequations dans le raisonlnement precedent, qui menerait toujours au merne resultat.
b
Supposons-y f (x) 1, il vient /f (z) dx = f dx b- a et par suiteo
a a
On peut exprimer la valeur d'une integrale deJnic ainsi:
b
r (x) dx = (b - a) [a + (b - 0 <0 < 1.......... (o0)
a
ce qui veut dire en langage de geometrie: une aire ALla (Fig. 1) est egale a un rectangle, dont,
la base est A L, la portion analogue de 'axe des abscisses, et dont la hauteur est quelque ordonnoee;
intermddiaire entre la plus grande et la plus petite, que la courbe comporte entre les limites a et b,
14. Un theoremne D'ABEI, [7], concernant la convergence des series periodiques, donne encore
dans notre theorie une application, qui ne manque pas d'interet. [Le theoreme cite( s'1nonce ainsi:
Lorsqu'on a i quantites reell es pq, q,....q,, qui,
toutes d'un meme signe, sont de valeurs numeriques successivement decroissantes, et de plus que
pour chaque valeur entiere de n entre 0 et n:
[7] ABEL, Journal voon Crelle, Bd. 1, S. 314.
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