Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DIEFNIES. III. Mde. 4. N~. 15.

de (e), K((x) de (b) et de (f), car alors onl obtient un mmene resultat, Mais on peut employer ce
qui precede pour des cas speciaux. Soit par exemple p = 2 a, alors les equations (a) et (b) restent
vraies; mais il n'en est pas de meme ma Pegard des formules (c) et (d), qui deviennent discontinues
pour la valeur a de n; on trouve done dans ces cas:
Sin. 2 ar oo 1 Sin. {(n-+a) 2w} a —I 1 Sin. {(a-n}) 2}
() + ~ (1-) -= ---- + 2 --- + - -- -
'1(x)+I(1x)1 2am ~ 2n (n+a) 2 2n (an)
2 az 1 2 (2 +cc) nw 1 (a- n) 2'
1 -2- n o. ro+ 1 Sin. f(n —a) 2n}
-1 Cos.2a7T 1 1 -Cos.f(n+a)2 } a-i 1 1-Cos. {(a-n?) 2z}
2ami- 2 2.n7 (n-f+a) 2w I 2n (a- 2) 2n
1 fl,, 1 l-Cos. {(n-a-) 2}
- -- Sin. (0) dx- - - - 0......... (/)
ja J a-+1 22n (n —a) 2w
0
Mais comnme les formules (a) et (b) deviennent ici:
1 () = ( -- T)...... (a ), K(x) — K (1 -- )........ (b')
les equations (a') et (e') nous donnent I (,) I (1 — ) = -; done:
r141 (1
jl (x)Cos.2 awdx d =x -, (T. 444, N.4),= (l (1- x) Cos.2 a xdx... (290)
zna
0 o
Les formules (b') et (/'), etant identiques, ne peuvent done point servir a determiner KI(x) o
K(1-,-,) dans le cas de p -= 2a.
Mais il se pent encore que dans lintegrale I p soit nul; dans ce cas les fonctions sous les
signes de sommation dans la formule (c) s'annulent et l'on obtient:
I( )+I(l 1- ) = 1 2.. Cos. 0 dx = 12w;.......... (e")
o
ledquation (a) devient en meme temps I(x) = I (1-x); donec
1 (T ) =12 (x), (T 367, N. 2),_= Ir(l-,, )d [63]...... (291
0b o
[63] On deduira encore cette integrale Meth. 21, N0~. 5.
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WIS- EN NATUUTlK. VEtH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.