Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 4. N~. 15. THEORIE, PROPRITEiS, FORMULES DE TRANSFORMATION,

I(x) Cos.pi. lF1-x).sCos.p nxdx+ Sin. fJ lr(l -x).Sin.pTrdx Cos.p7.(l — )+Sin.p-7.K(I - _), (a)
o o
K() =Sip7n.pw.f lF(1-x).Cos pm7rdx-Cos.pr. 1 tr(l-).Sin p7xd == Sin.pr.I(l-x)-Cos.pw.K(l —).(b)
o o
Pour obtenir deux autres equations entre les quatres variables I (x), I (1- x), K(x) et K (l - x),
rappelons-nous que, d'apres la relation B dans la Note du N~. 6: Ir (x)+lr (1-x)== l(9n)-l(2Sin.w),
ou, d'apres C. P. form. (109), en y posant p =-1, q-=2w x, l r(x)+l r (1I —) I 2+2 + os. nn
o n
0
Multiplions cette equation par Cos, p x dx et par Siln.p wdz, et integrons entre les limites 0 et 1
0o o o
+1C Cos.nw dx -SIw^-( — (l2n- p) [ JC.+C os. {(2np) ]Cos. d
j \~~ n pn TC
Sin.P 2 1 Sin. {(2n+p)7r} Sin. {(2n -p)w}}..(
p7r 2n (2n+p)7 (2n —p)
Sin.p12 w _Sin.pw O 1 1
pwr r n 4 n22 -'p
f r ( Sin. p a x +J F ( — ). Sin. p7r dd ax K() - K (1 -- ) 12r. Sin.pd K - K (1 Sin. d +
0 0 0
-.l f1 @oCos.2lzn 1l-Cos.pw oC 1 1
+ fSin.pnrdx - = 1 27w+ 2 j [fSin. {(2n+p) Tx} - Sin. {(2n-p)7rx}] d
0 0
— Cos.pw 00 1 1-Cos.{(2n+p)} 1 —Cos.{(2n- p)}.
pn (2np) (2n-p) w
1 -Cos.p T 1 - Cos.pw P 1 1
pw n 2n2n - p'
00 1 1
ou, en denotaint 12w - - 2 - 2- par P, fonction de p, il est:
Sin h. P
I()+. ( -^- ( =p,.................. (e)
prr
K(a.)+K(1-x)=1 0. P...............()
Pn7
Quoique nous ayons obtenu quatre equations, elles ne nous sont d'aucun service pour le cas gelneral,
puisqu'elles forment un systeme identique; il est aise de s'en assurer lorsqu'on elimine I (x) de (a) et
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