Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET JETTHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Me. 4. N~. 14, 15.
f1 dAz: fP dx
Soit ensuite p> l, alors a l'aide de l'integrale au N~. 9: I(p) l( -X)-i )(1 )~1 f~~~~~/ (1 --- dx dx.....t2 + + I) - ( —x 6 -) + - (x- -1) —. Or,
l(x l)- = lx -+ I (1 - -=- (1 )2 -P(l, quand on pose x
dx P dx x = y y
1 1 1 1 1
1 1 fdx d x
Done: I(p) ---- - (- ). p+ (1 p)2 - (1 x) — mais encore -- (1 - ) —
6 2 x J'
1 1, 1(1- _ )-_ - ) — t2 I -), d'apres N'. 9 et la definition de I; done:
0 0
oI\ 1 1
I (p) -I ()- +(-l). p+ (p), p>1;......... (b)
equation qui servira a reduire notre int6grale, dans le cas de p > 1, a une autre I -, ou des-lors l'arguP \2/
dx 1 1 1 1 1
Jl(l- a) —= — (1.2)2 + 2_ 2+(t-1).12+ ( 2)2 -- 2 + 1(-l1).12.(T. 188,No. ).
On trouvera d'une maniere analogue, lorsque p est < —1:
+ 2 (P)}2 (, P<-;................ (c)
6 L L \pI
et des-lors au moyen de (a):
TI(1-p) ==I )_ -_- I --- {( —p))}2 +-(l-p).p, p<-1;...... (d)
formule qui nous servira dans les memes cas que la formule (b). [61].
15. Soit I(x) = I (x).Cos. p7dx, K(x) =j l r(). Sin. prw xdx, oh largument x de I
0 0
a rapport a lFargument de la fonction r. Posons x == -y, dx = -dy avec les limnites 1 et 0
de y, et en outre Cos. p r x = Cos.p wr. Cos. p r y +-Sin. p wr. Sin. p r y, Sin. p wr == - Sin.p W7. Cos.p wyCos. p 7. Sin.p r y. Alors par l'emploi des notations analogues I (1 - x) et K (1 — ):
[61] On peut poursuivre l'etude de cette integrale chez SCHAEFFER, Journal von Crelle, Bd. 30,
S. 277-296.
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