Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IlI. Md. 4. N~. 15, 14. THEOORIE, PROPRIETES, FORMULES BE TRANSFORMATION,

a~].- xb f1 -ya'-b
tion de sx =- yb donne: --- dx -= y b yb- dy, encore finie: done en efiet la
o o
premiere integrale partielle est finie, et par consequent la seconde de memo; substituons-y x? = y,
et nous trouvons;
11 X -fP-1 'I xq -t- -pq — I - 1 r1 -_yp-1
I ) - IT (P) - — dx-q d_. dx- -=-0
0) 0 0Q
1_ x 1- q ' -x- d- -Y
d'ou I (p) =- I (1) 1 q, c'est-a-dire: d lq —, (T. 6,N~. 13), d'oI' il s'ensuit
1 - x 1 - x^ I
que le resultat precedent zero etait reellement fautif.
14. Dans quelques-uns des exemples precedents, on se trouve ramene a des formules de
reduction, qui nous aident pour quelque cas special. I1 en sera de meme dans les considerations
suivantes, ohu nous nous proposons d'obtenir de telles relations. Soit I (p) = 1(1-x)-, et supx
posons 1- x = y, dx -dy avec 1 et 1-p comme limites pour y; done:
1-P lydy 1-P i dx I41 _ -P Ix dx 1
I (p) = J= - + II -If 7.r2, d'apres ce que
1-y 1 ---x 1 —x I 1- x 6 '
1 0 0
nous avons trouve au N~. 9; l'integration par parties donne ensuite:
'1-P Ixdx (1-P I-P f1-P dx
- I -.= (d1 -x)ll.l(1- x ( — }( - (-)-. Or, pour la lirnite
j 1 -x j0 x
0o o
superieure le terme integre devient 1(1-p).lp: pour x = 0 il s'evanouit, comme nous avons
vu au N'. 10; donc: I (p) -6 71 + ( p. I l-p)-j 1 1-)-on, o, d'apres l'expression de I:
6 x
I (p) + I (1 p)- p.(1-p)- 62.............. (a)
Cette relation peut nous servir a present a etudier l'integrale I (p) et ses proprie'tes. Soit en premier
1 1 dx 1 I1
lieu p=-, on a: 2I( ()=1()2 --,donc: l (- )-x (I2)2 -- 2.(T. 188, N. 5). [60].
2a~~~-' 2 12
1 — 1 1
[60] Lorsqu'on suppose x dx --- c- d avec les limites 1 et 0 pour y, on trouve:
] +2 1- x (22.......
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