Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIN1ES. III. Md. 4. N~. 12, 15.

I (1-2 n 2 Sin. ) d.a 4(1-p2) w
+- 2 _ 4 2 - ) 8I(w)+'(p=(I - F'{ lt(l —p2) },(suivant Meth.10, N.9). (c). (1- I- ( p 2 in. 2i. ) p1
o
La combinaison des equations (b) et (c) conduit aux valeurs suivantes de I (2) et I (7):
2 / ( )(x dx {' (p}, (2) (v (
(1 —V2 Sin.2 x) 6 -0
J (x2 dx 41p3 p 2
J 25. =1 4E'(p) {F'( P)-) 2- Y(p) I + i2 (1(l-p2)) '(T.375N'.8 9)~
13 o I~> (r Ii.) =
13. Soit (1p) I ---— ) dx. En premier lieu on a:
o
I(1) = | (1- ) — i d.I (d - q)} -d. -.
0 0 0
1 o
Pour x ==0 lintegration donne I - 0; pour = 1, au contraire 1-, par consequent, d'apres les
1 0
1 - xq - q —1 1 - xq
regles pour ce cas: — q xq —1, done pour x =- 1: 1 --- (q xq-) = q, et:
1 — - - 1 ]. --
1(1) = f1 (1 -1 -l) dx==-lq. (T. 6, N0. 16). [59]. Ensuite on a: (1)-I(p) -=
1 1-X p-1 Zq-1 - Xqp-I\
j --- - 1 ---- ) dx. Or, puisque les deux termes dans l'integrale I (p) devien1. — 1 —x j
nent infinis tous deux pour x =1, il n'est pas permis de faire usage d'une substitution quelconque
dans un de ces termes a part; en effet, quand on pose ici dans le second terme xq- = y, il devient
q xP9-1 yP_ fI xP1dx IyP-dx
dx -— _ = --- dy, de sorte qu'on aurait: I(p) = --- f = 0, resultat
1 - xq 1 — y 1 - -J
fautif, comme on va le voir. Car lorsqu'il est possible de demontrer que les deux termes de l'expression pour (1) - I (p) sont finis, alors il est permis de les separer, et de faire une substitution
quelconque dans une des integrales partielles. Or ici, lorsque p est un entier, plus grand que l'unite'
e 1 l f - -
'integrale 1 dx reste finie, puisque pour la limite 1 de x la fonction a integrer
- x
1 - xP-1 a
devient p —1. Mais lorsque p serait fractionnaire, on pourrait supposer p = -; alors la substitu
[59] Sur une autre deduction de cette mreme integrale voyez Meth. 10, N~, 15.
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