Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. Mde. 4. N~. 1. TnlRI, 2 Th E, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
nule, talt pour x = 0 que ponr x -==, et que dans la seconde il ne s'evanouit que pour:= cn, tandis qu'il devient l'unitd pour x = 0. La resolution de ces equations donne:
I e-PxCos.q x = -, K = e-Px Sin. qxd. (T. 278, N~. 8 et 9. [55].
P2+q2 p2 P q
0 0
(x) dx
12. Soit I(cp) J (2 1_5p$.2 ~) Lorsque F (p, x) + F(py) = F'(p) on a [56]
jgy (l —p 2Sin.-2')
_ -dy _- 2dx*- et r(y)Y( p, y)= =(pr) (p, -)-E'(p)F(p,x)+ 1(l-p2Sin. 2
I/(1 l) — 2' I 2 Sin. xv)
1z(1-pStzn. y) w(1-p2Sti. x)
Multipliez ces equations membre a membre et integrez entre les limites 0 et x de x, (donc pour y entre les
f9 "\ F(p, x)d dx
limites - et y) on trouve: - d. I (y)+ I 1(x) + ^(p, p,)-E() I +
1 X p2 Sn. )
1 - (l _p Sin. 2) dx. Mais on a [57]: r(p, r) -E' (p)F (p) —l(l-p2),donc
2 1/(1 - p2 ) Sin fS) 2d
I I\ 1 S I -p n.2)
— I(+ I () --- (.(p) _) - E'(p)Fp (p){-,I(L-P2F,(), ))} _ (ap1)
Pour x=-, on a: y =Fr et de plus: I(a)=I(- )= I( ),F(p,) (p- ) F ) -
| 5] 2 - j -— =- l- r2 ). Y p d))sduivate Mth.,.vat 9Nt 17, N. 16);
J v v _ p 2 Si?,.) 2 Jo _2 Sin ' X)
-J ]/(l Ip In. 1 ((l-p2^i.' I
-I(7I( IT a7)/j ] (P) (F,(p})2 +-F'(p)tE(j)F'(p)- -(lp ) F (P) P
Ensuite pour (66.2F,),.) o a [58]: 2
rpj,y =) 4r (p,I.) + 1(1_ vpS2.4 ): multipliez membre a membre ct int6grez de x- O a
X == fT (et par consequent de y -== 0 a y- 7r); alors: I (7r) = 8( 7t) +[55] Deja deduites Meth. 1, N~. 9, Note.
[56] ROBERTS, Journal de Liouville, T. 12, p. 449, N~. 2.
[57] VERHULST, Traite ele'mentaire des fonctions elliptiques. Bruxelles, Hayez, 1841, (XII et 316 p. 80.)
~ 65, p. 114.
[D8] VERHULST, Traite' elem. des fonct. ellipt., ~ 66, p. 116, form. (27).
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