Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Md. 4. N0. 10, 11.

10. Mais quelquefois on tache d'acquerir deux equations, oi deux integrales definies se trouvent
comme inconnues; par la resolution de ces equations on peut alors trouver ces integrales elles-memes.
/' dx dx
Soit I- (1 _- )- et K J (1 X)
O0
dv 1 p la d
La somme en est I+ —K =| 1(1_-$2)- = 1 I (1 - x) - -I, par la substitution de X2 _ *y
x z j x
0 0
-- -I- -x dx lx,1 o4 x
d'oit 1+ 2K== 0. La difference au contraire en est K-I = I I~ - d. 1 x, ou moyennant
1 —x 1 --
0 0
l'integration par parties: K —I=Il=-.1 -i lx dx x ( --- - -- 1jlx — 2
1 — x 1 qo J 1+ -x. I o 1 — -x o f X2
0 0
Or, le terme integre se compose des deux parties lx..l(1 +x) - lx.1 (1-x). Pour x =1, le premier
terme est 1. 1 2 = 0, le second = - 1. 1 0 0. oc, indetermine; done, selon les regles ordinaires:
1
21x. -
l(1 -x) 1_ -. —x x
-(l)- = _- - (x 1= ( — l)2 - = -xl — 2 l x=- 0, pour x= 1. Pour x = 0, les deux
— l L 1XJ) —
X
termes sont 6gaux aux valeurs, qu'on obtiendrait pour l z-1). lz-1 z-])I(2-z) dans le cas de
z = 1: or, d'apres ce qui precede, chaque terme s'annule. On a done: K-I =-2j 1 -- -x n2
I 1-aX2
suivant Meth. 32, N~. 5. La resolution de ces deux equations par rapport a K et I donne:
_ (I1q-x) dx I i I I1 (I —x) dx 1 I 1
~~-K f ( 2 etl r 7. (T. 160, 0.1
j x 3 1 21 x 3 2 6
0 0
et 5). [54]. La somme et la difference en donnent encore:
dx'dI x dx 1]
2(1- 2 - -=-x t1 -= r2. (T. 160, N'. 10 et 15).
Ix 12 /1 -x x 4
0 0-0
o o.donne: qit I = | e-p C j Sd, K = e-P oid.)q lors l'inte'0 +pration par paties o.qox}
donne: q I = e-PZx Sin. q } -- Sin. q x. (-p e-px d) -- 0 + p I(, - q K = e-px Cos. q x I}
~o J 0
0
Cos. qx.(- pe-Px dx) =) -1 + p I, puisque dans la premiere equation le terme integre s'an0
[54] Comme on deduit d'une autre maniere Meth. 22, N,~ 3.
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