Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 11. M. 4 N. 6g 7.
inconlnue, et posons = 1, r- alors: r(l = ) 2 Or, r () e- dx
0
((+')v, (1+ ) ( y 2 (
oiU l'on a pris x == y2 et employe la valeur de lint6grale de Meth. 1, N0. 8. Done { ())}2 7T,
dx
d'oui r() = e- = -/. (T. 140, N~. ).
I
0
7. Pour trouver l'integrale I = e-x2 dx, qui depend de la derniere, on peut la mul0
tiplier par e-Pdp et integrer ensuite par rapport a p, entre les limites 0 et co de p. Or, dans
cette integrale double il est permis en premier lieu de changer 1'ordre des integrations, done:
e-Pdp e-Px2d.d -- dxx e-P(+2)dp -- dx --, d'apres Meth. 1. N0. 9 et 8.
O 0 0 ' O 0
Mais d'un autre cote, on peut prendre dans la mneme integrale double pxi' y, d'ou d( =-2 dy;
dx 1 e-Pdp e-Y.,
done: e e — d ey -- --- e: mais comme les variables sont separees,
Jdon py 2Je d/ p J / y
o 0o o o
on peut considerer l'integrale double comme un produit, et dans ce cas-ci comme une puissance
-2 2j 00 2
I fe-Y-. Supposez-y y= px2, elle change en - 2 p j e-P dx -2P| e-P2 d
0 0 0
Les deux resultats doivent done etre egaux, c'est-B-dire:
2- 2prlf e-x2dx, d'ou re-px2dx = - -, (T. 36, N. 8), [52],
2 p J 2 p
0~ o ~0
O dx_
ou encore, d'apres c que l'on vient de trouver, Je — = / 7T, comme au Nr. precedent.
l- lx
On peut aussi d'une autre maniere acquerir une equation pour notre integrale; car puisqu'on
c*Go 4-GO. a 0 *
a egalement: I e-py0 | /, on a: 2 = e-2 d e-j e. Spposon
y = z, alors dy x dz, puisque x est suppose constant dans lintegration par rapport a y; done:
[52] Sur une autre deduction voyez Meth. 38, N0. 2, MeIth. 44, N0. 2.
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WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.