Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 1. NY. 1. 12,

TillORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

p+(a 1)- -c(a) +it[X(a+j) —'(a)] = —, (a) +( a')]l +, +i,
P4(a+-I +2,)-c(a-4 ) -i-[X(a+6 +62) -X a - S2)] - l2 [yl( i) iX(n +8l)] + 2+ i21/2
g (a+-, +...-+-a) -- g (a+- +...+,_-)+i [ (a+-, -+...+ ) - X (a+ -, +... +,-i)]
a [, (a+5 l+. *. + n-1) -ri X) (a+ l +-. + nl)]+gn en+i ^a( 1e,
Mais de la notion d'une fonction imaginaire il suit d'abord que la continuite en dSpend de la
continuite de la partie reelle et de la partie imaginaire separement; par consequent dans le cas de
continuit l'addition de toutes ces equations nous donne:
(a+3 +" ' +,)- P(a)+i[X(a+,3 + -. +Sa)- (a)] = (p'(a) + 2 '(a+1) +..
+3 anqp'(a+j,+...- +a-i1) -+-[ X' (a)-J-+6 X' (a+ 1) +... +n X (ad-, +... + _ I+)]
I+ (, + 2 8 2 +... +4 i 1n+i [ I+3, 7 12 +, +. - +n.. 7].
Le raisonnement de Nr. 3 donne ici tant I3, I +1 2 + '.43sEn-0, que Ia 1+ +S +2 2-..++qt z —0.
De plus, suivant la supposition et les notations de Nr. 5 on a:
[cp (a + +t + (a+. +..+ +...+,)]-[(a) + i (a)] _ [, () + i'(x)] d
a
= Lim. [a, g,' (a) -+ 2 yP' (a + 8 J) +... +,n I' (a + 3, - -... + n-1i)
+ iLim. [1, X' (a)+ 2')++..- '(+ +,) +... + n (-)],...... (14)
formule, tout-i-fait analogue a la formule (4), et d'ou resulte tout le reste du raisonnement.
12. Ce qui precede peut suffire pour etablir une notion claire et precise de Finte;grale definie;
maintenant deduisons de ces principes quelques propri6tes generales de ces fonctions.
En premier lieu nous deduisons de la formule (3) que
rb rb
A f (x) dx A / fi (x) dc.............. (15)
a a
pour un A constant, puisque l'on pent le considerer comme facteur de chaque terme et par consequent comrne facteur de l'expression entiere. Evidemment cette meme equation donne encore:
I [ffi )+fA (x)+.1dx= i ()d+ () d +.......... (16)
a a a
d0oih, par combinaison avec la precedente:
[Ailf i() +A2/2 (X)+.. dJ -AI fl (x) d( + A2 ()dx+.... (17)
a a a
Enfin l'extension de la formule (8) nous donne pour a< c <c2 <...... <c < b, la relation
evidente:
f (r) dx f d — ' f (x) dx + + J f (x) dx.....
|j f(x.) d=== if (d+ /' f ($)dd+..+ ()d....o. (18)
Pa Ca 1 Cn
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