Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1I1. Mid. 4. N~. 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMIATION,

une des formules fondanentales dans la theorie des fonctions r, et qui, ecrite ainsi:
xr- dx r (p-r)(r)
J (T. 18, N0. 12),
J (1 +)P r (p)
0
donne l'expression de l'integrale Eulerienne de la premiere espece dans les iltegrales Euleriennes
de la seconde espece [51].,Revenons a l'equation (a), ou la fonction r est encore consideree comme
xr-_1 dx
La comparaison de ces deux valeurs d'ane meme integrale ddfinie fournit:
( --............ (B)
rSim, r r...........)
une des integrales mentionees. Pour r - on trouve:
r ()r () =, d'ou r (-) =- 7,.............. (0)
identique avec I'integrale T. 140, N0. 1, dans le texte. Encore a-t-on Meth. 3, N'. 7, Note [36] pag.
246: r (a + q) qa/l r (q) (A), equation qui donne ici pour q -=, a l'aide de (C):
] a12
F (a - l 1- ( -) = 1................ (D)
Les formules (B), (C), (D) expriment ces proprietes fondamentales de la fonction Gamma que notus avons
annoncces.
1 _ _ _ _
[51] On la connait encore sous une autre forme. Substituons 1 —x -, d'ou x -- dx ---
Y Y y
alors les limites de y deviennent 1 et 0, et l'on a:
r (i) F (p —r) ) dy
---- -- -
r (p) y y
/~ 1 — y' r —p -I dyd
1 o
onl pour p-r =q: f (1-^-1 q-1 d = r -+, (T. 1, No. 8),
r (+ T)
l'integrale Eulerienne de la premiere espece; elle est ordinairement exprimee par une des notations B (p, q)
ou I: ses proprietes sont intimement liees a celles des fonctions r.
Tout comme preceddemment on a encore:
1 --- X)r —l a+q-1 d. + q) (r) _ i (;T. 1, N. 1 2),
1 r (a + q(r) (q+ r) r(q + r)
d'apres la formule A, Meth. 3, N3. 7 Note; et de la meme maniere:
(l -. +- +- r (a + r) (bq) + r alqb (r ()(r)
J (1 -. xa0+rl.6+ _2_85_
(- ) r +(a+ b + r) - (q + ra+b/ r (q+ r)+
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