Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Md. 4. N~. 35 4. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
| 31Sin. xdx =|(73 — 32x+ 37wxS2 —3)lSin.xdx, d'ou: 0== /(3r — 2r _ 3 2 2x3)lSin.xdx,
0o o 0
J x1 Sin. xdxf (7r 4 - 4r3 x + 67 2 2 - 4 xr x3 + x }) Sin. x dx,
o 0
0
d'oU: 0: l (4 -- 4 r33 -t- 62 r2 -X2 — 4 x3) x Sin. x dx.
Par la substitution des deux integrales trouvees pour a 0= et a — 1, ces deux equations conduisent au meme resultat, savoir:
j(23 -" 3 2)1lSin.xd nz 4,,............. (276)
0
et il ne sera pas possible de separer les deux parties de cette integrale.
Pour la valeur multiple generale de ISin. x on trouve par C. P. (5) et (6):
t ~21I((Sin.)) d _== — 1 2+rn 2i, 21((-Sin. )) dx -- 1 2 i+ (T. 33 0, N3. 3 et 4),
o o
Il((Sin. ))diz -- - 12+2 r n2i, l((-Sin. x))dx - 12 —+ (2 1) i, (. 35, N~. 3 et 4),
/1 p rr I 2r4-1
x ((Sin.))d ~ = -7 1+r73, ((-sin. x))d, z -- 2+ - 3. i(T. 43, N'. et 7).
4. Soit I = -p CO. X+p2) d; pour x - y on a: I = I (+2p Cos. + p)dx;
do u(l-p p Cosoe. (13- 2 +p?.TC yy. p y2_) q_^
0 0
done leursomme: 2L== f + ~0 x) dxJ1 P+4 p 2 (I+ C0.2X))dj
Ji(l +rp-o 2p2 Cos. 2x) dx - I (1+P4 -- p2 Cosy) -dy= - lj(l-2p2 Cos.y tp) dy+
2 )
+ I 1(1- 2p2 Cos.y + 2)p d; d'abord on y a substitue 2x -y et ensuite on y a divise
la distance des limites en deux parties 0 a 7r et r a 2'n: substituons encore dans la derniere
2 7r -y - x, alors elle devient egale a la precedente et lon a: 2 I.. (1 — 2p2 Cos. + p4) dx.
o
Representons I, comme etant necessairement une fonction quelconque de p, par cp (p); cette derPage 258.