Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'IVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Me. 4. N0. 5.
On en tire encore:. ISin.dx==2 I=-7r2,(T.353,N'.1), et: 21Tg. xdx =J2 Iin.x-J 21Cos.xdx=- 0.
(T. 333, N~. 1). Pour avoir I Cos. x dx, il faut observer que Cos. x devient negatif de x== — ax == r,
77, ~r w7r 7r
I17. 1 COS. 2,7
donc:] I Cos. xdx 2 loss. d 2 x dx-. Cos.2 xdx = 2J ' Cos. 2 xdx=-w- 2, (T. 353, N~.6),
0 0 0
par les mienes reductions que precedemment pour I Sin. x. On a enfin: l 2 7 T.2. -X 0. (T. 353, N'. 5).
0
Pourl =f- I Sin. x dx on suppose x =n - y, done: I " = | (w-x) ISin. x dx =w 7J Sin.xdx-I,,
Ix
d'oit I= 1)Sin. xax-( —L2)) -- 212. (T. 413, N3. 1). [46].
2
O
Mais de cette maniere on ne pourra determiner 1'inte'rale analogue I x Sin. xdx pour
a> 1, car on trouve par la substitution x $- -: J xa 1 Sin. x dx= J (T- x)a 1 Sin. x dx.
0 0
O o
Pour a=:2 on a: x2 I Sin. x dx = | (T2 — 2 2-+2) lSin.x dx d'oil 0=J (w2 -2 Sin. dx,
O O O
equation qui donne de nouveau 'integrale precedente. Pour a = 3 et a == 4 au contraire:
[46] Puisque xSinxdx= Sin.2 xdx + lSin. xdx= lSin. xdx+ (2 -)ln.2
(en y posant x- 2-rr —). Cette derniere somme devient: 2 j II Sin.2 xdx -- -4T2 12. Mais d'un
r2 T - {T f
autre cote pour x == 2 on a: xITSin2 xdx 4 J lSin2xdx=4~ xdx zz(14+lSin., x-$ lCos.2 x}
0 0 0
4 -27 1 + 4 (- r72 1 2) - 4 x 1 Cos.2 x dx. La combinaison de ces deux resultats nous donne:
0
x 1lCos. 2 x dx:= - x 1Sin. x dx._ —. 1 2, et par suite: 1 Tang. 2 xdx -. (T. 413, N~. 4, 5.)
0 o 0 0
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