Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. M.de. 4. N. 2, 3. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
PO rZ rn -r 71 5
I =oJ (Tr-x) Sin.ax(-dc) = Ti in. a xdi-f ' Sina xdx T= fl Sinxdx.-I, d'oiia I = J Sin.axcd;
ou suivant Meth. 3, N0. 5
I^ 1 la/2 2a12
xSin.2axdx = -r2 —...... (273) x Sin2 d 2..... (274)
Jou r I )in.2a+ xdx /.
Pour I, = I x Cos.a dx, cette transformation donne I, ( — 1)w Jr| Cosa xdx-( — l)a I.
O~~~~~ O~~~~~0
Lorsque a present a est pair, on trouve par Meth. 3, N~. 5:
I 1a/2
Cos.2a xdx - I Cos22 a dx - ~......... (275)
J 2a/2' J......
O O
0 0
mais lorsque a est impair, on a I - = — Tr JCos.2a+lxdx+I,, de sorte que l'on ne saurait
r7r
en tirer I,; seulement elle nous donne: 6 Cos.2al x dx = 0, (T. 78, NT~. 7), comme Meth. 3, N~. 5.
r2 2
0
3. Soit I _ f ISin.xdv. Posons n-yetnoustrouvos= ICos. x d, dont la somme
o o
7r 7r
est: 21= 1 (Sin. x Cos. x) dx (1 Sin. 2x-l 2) dx. Par la substitution 2x-y on trouve en outre:
0o 0
2 Sin. 2 xdx Sin. x dx { n 2 Sn. x, dX + 1 Sin. x d, ou nlous avons divise la
o o0 0
7C 9r
distance des limites cans deux parties de 0 a - et de -a rr: substituons dans la derniere
2 2
integrale i — y au lieu de x, d'ol dx =- dy, et - et 0 les limites de y, cette integrale devient
21 1 ^'2
egale a la precedente: par consequent 1 Sin.2dx dx 2 1 Sin. x dx = I. Done notre equation
o o
primitive deviendra:
21- I-I 2 2dc, on I = - 12 = S 2 Sin. x d I 1 Cos.xdx. (T. 330, N'. 1 et T. 331, N~.1). [45]
0 0 0
[45] Comme on deduit autrement Meth. 28, N0. 7.
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