Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METILODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. 5O 3 N~. 10, 11.

f~ePpi --- e2
2ePxi Sin.P —2xdx = e~ == --- pr.I p (-1) -p —
0o
oU9 commne -— i e-it lorsqu'on ecrit q +-1 au lieu de p:
7r
f e-f' )is)j.-cj'-i =x - eiqr. (T. 287, N~. 1). [43-].
f q

11. De quelques integrales

7r
2 /f(Sirt.2 x) dx
I (1l-p2 Sin. 2x)
o

Legendre nous donna la formule de reduction: d. {Cos.x.Sin.2-3 x. \ (I- p2 Sin.2 )}
(2a - 3) Sin.2a-4 X (1 -t p2) (2 a -2) Sin.2a-2x p2 (2 a — 1) Sin.2a
-J --- _ — |44. Inte7ronlls-la
I (1-p2 Sin.2x) (I - p2 Sin.2 x) (1 - p2 Sin. 2) [ )g
entre les limites 0 et, alors la fonction differentiee disparait au premier membre, pourvu que a >>-
et nous aurons:
7r 7? 77
2 5j2a-4, 5jI,2a-2 d ' 2aXdCl
2Sin.2a4, d 2 Sin.~-2 xdx 2 2 Si X2 S( d-3 ( _ 3-)l+p2)(2a-23 i VD2(2-1) l
J -V1 )2)(1J(-p ipl(22Sin,2)) 0 ( (I-p 2 (1 2Sn 2 )
~~~~~o 0 0

O1r, on a:

0
o

2 d F(p) (T. 75, N )
------ ='(p), (T(. 7 —5, SN. 9)
I,-(l — p 2^2 sin 5 X

par definition; et ensuite:
7? T1 l7
Sin.2 x dx 2 dx
p, _ -__ -- {l_ (1-p 2Sin.x)).= — -
Vf ( l-p2 Sin.2 I) J (l p 2 z) n.' I X ( p2 Sin. 2,1 )
0 o, 0
-- dx / (1-p2 Sin.2 x) = F' (p) -E' (p), aussi par definition;
[43] La separation des parties reelles et des parties imaginaires donne:
77? 7r
f2 1 1 qq 2 ' q
Sin.q-' X. Cos. {(q ) )x} dx - Cos, q 7T Sn.q-l 2. Sin. t(, l) x) d, — in. q~
0o o
(T. 54, N~. 8 et 1), comme on trouve encore Me'th. 14, N~. 8,
[44] LEGENDRE, Exercices de Calcul Integral, Tome I, Partie I, N0o 8o
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