Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

1. 4. N". lo,, 11.

etre nulle, tandis que dans le second cas elle ne sera pas nulle, et le plus souvent elle sera infinie.
Alors il s'ensuit encore que nIcessairement (x) f dx = ~ i oo. Ces valeurs de la correction dea
pendent naturellement de ce que les produits f' (p -+ ) soient finis ou non [5]. Dans les cas
d'indetermination on peut appliquer les regles de la convergence des s'ries [6].
11. Jusqu'ici on supposait la fonction f(x) reelle, mais aussi pour une expression imaginaire
le raisonnement precedent restera de vigueur: pour ddmontrer ceci, nous allons ddduire la formule
(4) dans le cas d'une fonction imaginaire de la forme cp (x) + i (x). Alors la formule () de
Nr. 3, sur laquelle se fondait la demonstration, devient ici:
q(x+~ )-cp (X)+i [Z(x(+ )-x- ()] T [cp' (x)+iX' ()] + (+i ), oiu est pour X (:) ce que
z est pour qp (x).
Maintenant faisons successivemenet
x= —a, a +6I, a4-^ +c6,,... t+<+- (+...-^-1,
d=-,, 2,, et designons les valeurs qu'obtiennent les e et les 7
par e= 1, E2,,... ~ '
et 7==1 =; I13,; I " 21 \ 5
respectivement, et nous aurons les equations:
[5] DIENGER, Journal von Crelle, Bd. 38, S. 266. - Voyez aussi SCILOMILCH, Gru1nert's Archiv.
Bd. 11. S. 63.
[6] Appliquant a l'aequatiou (3) les regles pour la convergence des series, trouvees simultaneiment par
RAABE ) et DUHAMEL t), onl obtient avec OSSIAN BONNET ~) la regle suivante:
Pour savoir si l'integrale definie f(x) dx devient infinie ou non, lorsque pour un c, situe entre a et
b, on a f(c) = o, il faut
1~. calcnler les valeurs p1 et' q des expressions (c- x)'-f(x) et (c-x)f(x) (ou s est une quantite
positive, aussi petite que l'on voudra) pour x = c. Alors l'integrale est finie, si p1 < oo, et elle
est infinie, si q1 > 0. Mais
2~. si p =_ co et q = 0, il faut calculer les valeurs p et q2 des expressions
1 X1
(C-$) (I --- f et (c-)l[ --- /(,r)
\ -- XC /G —
pour x = c Lorsque 1P2 est < cor, l'integrale est finie, lorsque q2 est > 0, elle est infinie; et lorsque
3o. P2 - o et q2 = 0, il faut calculer les valeurs p3 et q3 des expressions
(~-.T) - ^ -— (1 f(X) et (c-) -) 1 ( ---)11(( )
pour x —c. Lorsque P3 est < oo, l'integrale est finie, lorsque q3 est > 0, elle est infinie; et
4~. lorsque p.3 = oo, et q3 0, il faut continuer de la mebne maniere.
*) RAABE, Journal on Crelle, B3d. 11. S. 309.- Id, Journal de Liouville, T. 6, p 85.
f) DUHAMEL, Journal de Liouville, T. 4, p. 214.
~) O. BONNET, Journal de Liouville, T. 8, p. 73.
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WIS- EN NATUTURK. VERIH. DER KONTIiKL. AKADEMITE. DEEL 1f IT.