Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHIODES D'EVALUATION DES INTGRALES DEFIN1ES. IIIt Ml. 5. N'. 9.

f - Cos. d d _pq in. p - q Cos. p. l -q I q
q Cos. px dp............ (244)
0
On a: p2 e-PX Sin.a x dx - pe-PxSin.a x -p e-px ain.a-lx. Cos.x dx p= —pe-lx Sin.a —
-a e-p0l SiV- 1 x. Cos. x - a e-Px dx ((a - 1) Sin.a2 x. Cos. x. Cos. x - Sina-. XSin. x.- p e-PX Sin.a x - a e-I) SItj.a-1 x. Cos. x — a e-)x dx t {(a - 1) (SiZ.a-2 x - Si 2.a a };
et tout de merne:
p1 fOe-xcos.a xdxc =-pe-rXCos.a + ae-xCos.a-] o.Sin.x+af e-ptdxt(a-l ) (('os.a-2X -Cos.ax)-Cos.Qx}.
Daus ces deux formules de reduction les termes integres s'annulent pour x — =, a cause
du ficteur e-IP3 qui devient zero, tandis que les autres facteurs restent indeftermines. Pour x - 0
ces termes s'evanouissentf dans la premiere formule parce que Sin.ax == 0 = in.a-i x: encore,
7r
puisque pour x - on a Cos.ax = 0 = Cos.a — x, les termes dans la seconde formule s'annulent Cgalement pour cette valeur de x. Done:
Seb- t ai x x =5 - - j... -P ia-2 dx,V e —Px Co0.a x d = - -- e ---px Cos.a-2 X dx.
i' p+a-j +p a a.
(0 0 z ' t
2 2
I)ans ces deux fomnules il faut distinguer les cas de a pair ou impair, car:
J.a+) I 12 a) p}/1 '~= {1 { 2{-2a GO/1/
I sde - = — ------------— 9S -, (T. 279,N. 1 )
C -t22_ p) (4( +p22)..(4a q2+p2)2 (2 +2p).((42+p2)...(4a2 +p )p
]10 J2a+1/1 oo0 12a- 1j/1
e -pxSi. 2 a+l_ Q -- 2 e —_c__ 2- - — P (0, — N-19)
(2'5 2-'.4+p1a~' pp23
g * [~{8..+p2}.{52+p2}...(2a+l)2+p2 ' (1 2}{l2+p}.{3Z+p2}...{(2a+l)2+p2}
o 0
(T. 2.,279 0,. ), [40], o dans la premiere integrale on est renvoye vrs Meth. 1, N. 9, dans
la seconde vers aMeth. 1, NO. 9, Note.
A laide des formules (74) et (70) on trouve encore~
~ e-Px CoS.2 2 d =& I ~-].x dx-==
i}X V S2L C (12_+p 2) (:T2 -).,(4a' -P9 2) J,^~~~~~~~~~~~~ 2
= 11 — e- e 'p, (T. 98, N~. 1 ~),
( -tP ).(4 2 -tp 2),, (4ai +p 2) p
[40] MAeth. 22, N~. 3, nous twrouverons d'autres valeurs pour ces mnmes integralcs.
Page 249. 3 2