Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. l. Jde. 5 N. 7.

e-q2x2 dx$ = f — e-rq2X2 dx = ] 2+ 2 - r, (T. 114, N". 8), [3 8] ta aide de Me6th. 4,? N. 7.
(2 q2 yz2(+lq2a l
O
0 0
On a: -( p+qi) e(P+qi)xxa dx -- e-(p+qi)x-a - e-(P +qOaxa _I dx. Or, pour x=- 0 le
terme integre est nul; pour x oc, son facteur e-qxi = Cos. qx - i Sin. qx est indetermine, mais la
valeur numerique en est toujours plus petite que 1 ~ i; 'autre facteur e-Px X est nul pour z-= oc,
comme precedemment, done le terme s'evanouit tout-'-fait, pourvu que lon ait p > 0. Car pour
p < 0, p. e. egal a - s, le facteur devient e+sx xa, et la valeur a present en est infinie pour x- oo,
parce que lautre facteur e-qxi est en general indetermine pour cette valeur de x, comme on vient
de le voir. Dans le cas de p egal a zero, le terme entier est e-qxi a, dont le dernier facteur
devient infini, tandis que le premier est indetermine; sa valeur done sera encore infinie el general.
De telles considerations se presentent frequemment, et d'apres les discussions precedentes il faut
bien se garder de prendre un facteur de la forme e-p:~qxi 6gal ' zero, lorsqu'il n'est pas certain
que p soit positif.
ci l'on a
f00 a a P/
e-(+qi)x xa dx x a-I e-(p+qi)x dx - (T. 113, N~. 16),
I p+qi) (p+-g.i)a+i'.
'o *0
d'apres Meth. 1, N'. 11. Done lintegrale T. 113, N~. 4, vaut encore pour un p imaginaire. [39].
[38] Voyez une autre deduction de cette integrale Meth. 44, N~. 2. On troave encore par la substitution de x2 =y et q2 =- p:
00 dy 1aI2 7 o
f e-Vpya y (2dy)a1 -. (T. 189, N0. 4).
j WY (2 p)a p
0
[39] Maintenant on peut developper les fonctions imaginaires suivant C. P. form. (18), en ecrivant
a — 1 au lieu de a:
0
a e-7>x ( (os.qx —i Sin. q|r@a-I dxr == l a-,l l Q-a (Cos. ap —i Sin. acp), ou o = 1/ ( p 2 J q 2), = = Arctg.-;
dorie par la separation des fonctions reelles et des fonctions imaginaires:
la-\ll / Q\
e —Pxxoa- Cos.qxdx- --- )Cos. aArctg- e-pxxa-lSin.qsxd = Sin. aArctg.t/(p2+ 2)a + P 2/(P2+,2)a p
o 0
(T. 386, N~. 12 et 13). Plus tard, Meth. 33, N~. 5, nous deduirons 'ces memes integrales sans la consideration des imaginaires. Sur les memes integrales, (mais pour le cas, ou la puissance a d d e devient
fractionnaire) voyez encore Me'th. 18, N'. 2, 3 et Meth. 26, N~. 2.
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IIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.