Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 5. N0. 7. 7 THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

00 d a 0~ lall of laiI
J e-Px,ad $- P e(- I^a-1 - I e-Px dx -- + (T. 113, No. 4),
p;9 pa pa — 1 '
suivaiit Meth. 1, N". 9. [36].
Encore: -2 q2 J e-q2 xa dx = xa- e-q22- e-qx2 (a - 1) Xa-2 dx, done:
e —2x2 xa dx 2 -- 1 e-2x2. a-2 dx,
2 0
puisque le terme integre devient nul, tant pour la valeur 0 de x que pour l'autre limite oc;
mais on voit, que la reduction successive donnera lieu a des integrales finales differentes selon que
a est pair ou impair. On trouve done:
00o 2a,'2 [w la\ 00 ja\l
f e-2x2a+ld je'- qt 2x2 xdx -Y e 2X2x dxe- (T. 114, N'.9), [36]
(2 q2)a q"qa~2' (T
o0 00o
[36] On a tout de meme:
e-Px za+q-l- dx = at - e-px aq-2 d_ _ (a- I q --- 1)a — f epxr-i d,
-Px —Px Va'q-2-aq-1 d. e-Pxxq-1 dd;,
P pa
0 '0
Or, on a par definition:
f e-xq — clx r(q), (T. 113, N~. 3),
o
d'ou, quand on pQse x py:
e-px x- -1 dx; ( —,) (T. 113, N~. 5), et aussi: f e-Pxa+q dx =
jO~ p^ a+qo 0
Mais cette meme integrale est a present suivant la reduction pr6cedente:
f00 qall (q)
J e-px qa+q-1 d =dx --- (T. 113, N0. 6);
*0
et la comparaison de ces deux resultats ddnne la formule:
r (a + q qall r (q),................. (A)
qui exprime une des proprietes fondamentales de la fonction Gamma.
[37] Puisque e-q xx d.x = --. 2. (T. 114, No. 10)
JPg2e 4 qq2
0 '0
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