Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

L. 1. NO. 10.

THEORIE, PROPRIETES, FORMILSBETASORAIi

1 0. Pour toute fonction, qui est continue entre los limites de l'intP'gration, cette correction
s'6vanouit 6'videmnient, parce que l'intedgrale singulie're s'annulle et cela est n'cessaire aussi afin que la formnule (6) puisse valoir. Ainsi par un raisonnement inverse on peut de'duire de ce qui pr'c'de un. indice certain de la continuite' on de la discontinuit6' d'upe fonction; car dans le premier cas la correction A doit
Yoyons maintenant cc cjui en est d'apr'es la valeur generale de, CAUCH-Y. Alors on trouve:
0 ~~~~0
- ~~ ~ I~~( 4 0)2_ 1(1 4 1 + q _):2 + ( p.~ 2
- -il —il~~~~~~-1
4 4 4 '4\2 q 4\,4 + qq k /
(on en passant 'a la limito ze'ro de (e))
comme valeur ge'nc~ale; d'oii il s'ensuit corame valeuir principale pours p q I'1, 1 0. J'en conclus,
2
que cette, dernjiere, qui cofincide avec le rg'sultat (c), est la sontle ve'fitable, et que la valeur ge'nerale no
pent valoir.
Pour faire ressortir la n("cessit6' do la prudence, avec laquelle il faut agir dans ces. cas de discontiunite6, nous verrons cc que PLANA *) avauco snir cette meme iutedgrale, II regarde en premier lieu les
formules (a) et (h) comme ghe'ralcment valables et de'duit de chacune d'elles:
dx I I + 1 1 d fx I xFl 1 1 1 1
2 -l 2 2 -1 2 1) (d
f ~~~~x 0)-j' 2XI }-
o ~~~~~0 0
Enunite, toutefois sans avoir e'gard 'a la discorntinuite, ii reproduit notre re'sultat (c); et do ces valours
bien dliff~rontes ii reg-arde la valour (d) comme la sonic veritable. Mais ii n'est pas pormis do prendre dans
ces formules (a) et (b) xplus grand on plus potit respectivement quo l'unite': a-fin d'y Ctrc autoris6', it
faut d'abord qu'on en change los valeurs ainsi:
1 /14 Va 2 ___ 2
-lf~~~4.C et U (A? 1)2
4k-x I,
et de's-lors, at laido do chacuno do ces formules, on tombora par sa m~thode snr lo rg'sultat (c). La
raison do cette coincidencoesct 6'vide'mment dans la circonstanco, quo ponr los points do discontianit6', leo
deux valours de part et d'antre devien-nent e'gales, et quo par suite la correction est unlle, comm-e nono
avonis trouv6' pr'ce'demment.
*)PLANA, Journal von Crello, Bd. 17. S. 1. (S. 21). PoissoiN on pense do m~me: Journal do l'IEcolo Polytcchn.
Cali. 18, p. 320-341. Snr los intdgralcs des fonctions, qui passonit par l'infini entre los limitos do l'iategration, et
3ur l'asagc dos imaginaiires dans la determination des intdgrales d6finies.
Page S.